제4장 확산공정 (Diffusion Process)

Issues

1. 반도체의 저항을 낮추는 방법

2. 깊이방향으로의 dopant profile 예측

3. 주입된 dopant의 양 측정

4. 확산의 문제점 및 개선 방법

Key words

1. Fick's 1st and 2nd Law

2. Substitutional and Interstitial diffusion

3. Thermally Activated Process

4. Uncoupled Solution

5. Partial differential equation

6. Irwin Plot

7. Cerf and Gaussian Profile

Theory

1. Fick's Law

2. Partial differential equation

Technology

1. 반도체 공정에서 dopant 의 첨가는 주입과 확산으로 구별하여 진행하며 predep 과 drive-in 에 의한다.

2. 주요 dopant는 실리콘 내에서 substitutional diffusion을 하지만 Fe 나 Au 등 불순물들은 interstitial diffusion을 하기 때문에 쉽게 확산되므로 doping 보다는 contamination이 쉽게 이루어진다.

3. 확산은 주로 2시간 이상에 걸쳐 이루어지지만 여러장의 웨이퍼가 동시에 처리되는 소위 batch process 이므로 일반적으로 전체 공정의 흐름에서 걸림돌이 되지는 않는다.

4. 측면확산은 수직 확산의 0.7 배정도로 미세소자를 만드는 데 걸림돌이 된다.

5. 초고집적소자에서는 접합의 깊이가 극히 얇고 (<1000[eqn: ANGSTROM]) 주입된 dopant의 농도가 높으므로 확산계수가 농도의 함수가 됨을 고려해야한다.

4-1 반도체 확산공정 개요

반도체 집적을 위한 확산공정은 일반적으로 다음의 2 단계로 이루어진다.

1) predeposition

- inert gas and dopant species in furnace

- So crystal 내에 solid solubility 를 얻기에 충분한 high concentration of dopant species in gas stream

- [eqn: 900 ^o C] 에서 [eqn: 1100 ^o C] 사이에서 약 30 분 정도 진행됨.

- solid, liquid and gaseous sources for dopants

2) Drive-in

- no dopants in gas stream

- oxidizing ambient [eqn: O_2] or [eqn: H_2 O] to grow masking layer for next diffusion

- 1000[eqn: ^o] C 에서 1250 [eqn: ^o] C for 30 min - 15 hrs

- most of the diffusion occurs during drive-in

4-2 확산기본이론

1)substitutional and interstitial diffusion

대부분의 중요한 도펀트들 즉 P, As, Sb, 등의 n-type과 B 의 p-type 등은 실리콘 matrix 내에 substitutionally 확산되며 Au, Fe 등의 불순물등은 interstitially 확산된다.

- substitutional 의 경우는 silicon vacancy와의 상호 교환에 의해 확산이 이루어지므로 vacancy의 존재여부와는 상관이 없는 interstitial의 경우보다 확산 속도가 느리다.

- 확산은 소위 thermally activated process 이므로 Arrhenious equation 형태로 나타내 질 수 있으며 따라서 [eqn: D` = D_o~ exp {-E^* /kT}] 로 부터 log D 와 1/T 의 plot으로부터 activation energy인 E[eqn: ^*] 를 구할 수 있다.

- 그림에서와 같이 substitutional 의 경우는 도펀트의 종류에 상관없이 대개 비슷한 activation energy 값을 가지며 3 에서 4 eV 정도이다. silicon 원자의 결합에너지가 약 2 eV 이며 vacancy의 확산을 위한 migration activation energy 가 약 1-2 eV 이기 때문임.

- boron 과 phosphorous는 확산계수 값이 거의 같으며 Sb 나 As 보다 큰값을 갖는다.

- interstitial의 경우는 activation energy가 확산하는 불순물의 종류에 따라 다르며 substitutional 의 경우보다 항상 높은 확산계수를 갖는다.

2)확산이론

Fick's 1st law

[eqn: F = - D { partial N} over {partial x }]

즉 flux는 concentration gradient에 비례하며 이의 비례상수는 확산계수이다.

F = diffusion flux ( atoms / [eqn: cm^2] -sec)

D = 확산계수 ( [eqn: cm^2] / sec)

N = dopant conctentration ( atoms/[eqn: cm^3] )

x = distance (cm)

Fick's 2nd law

net flow of atoms into the volume is

[eqn: A ( F_1 - F_2 ) = A ( TRIANGLE x ) { partial N} over {partial t }~~~~~~~~ ## therefore { F_1 - F_2} over { TRIANGLE x } = - { TRIANGLE F} over { TRIANGLE x } approx { partial F} over {partial x } = { partial N} over {partial t } ## therefore - { partial} over {partial x } LEFT ( - D { partial N} over {partial x } RIGHT )= { partial N} over {partial t } ~~~~~]

따라서 만약 D 가 일정한 값을 가진다면,

[eqn: D `{partial ^2 N } over {partial x ^2 } = { partial N} over {partial t }]

Assumptions : 1. No electric field effects

2. D is independent of

concentration

이 식의 오른쪽 항은 일정 지점에서의 시간에 따른 도펀트 농도의 변화를 나타내는 것으로, 확산계수가 도펀트 농도에 의존하지 않고 일정한 값을 가지는 경우에만 성립하는 식이다.

Diffusion Coefficients

[eqn: D ~=~ D_o ~e^ {- E_A~ / kT}]

[eqn: D_o] = diffusion constant ([eqn: cm^2] /sec)

[eqn: E_A] = activation energy (eV)

k = Boltzmann constant

T = temperature

Note : All [eqn: E_A] are almost same (3.5 to 4.0 eV) [eqn: E_A] corresponds to energy needed to form vacancy for substitutional diffusers.

[eqn: Therefore][eqn: E_A] is related to energy needed to break Si-Si bond ( [eqn: approx] 2 eV)

4-3 실제 공정에의 적용

4-3-1 predeposition

목적 : 실리콘 내에 일정양의 dopant atom을 투입하기 위한 공정임.

Henry's law : [eqn: N_s] = H [eqn: P_s]

[eqn: N_s] = surface concentration (atoms / [eqn: cm^3])

H : Henry's constant

[eqn: P_s] = partial pressure of dopants in gas stream

boundary conditions for predeposition process

a) N(0,t) = [eqn: N_o] = constant ( solid solubility limit에 의해 실리콘 표면 농도가 정해짐)

b) N(∞,t) = 0 ( 실리콘 웨이퍼는 전혀 도핑되어 있지않다고 가정)

c) N(x,0) = 0 ( predep 이전에는 표면에서조차 도펀트가 없음)

위의 boundary condition을 이용하여 Fick's 2nd law를 풀면,

[eqn: N`(x,t) = N_o~~ erfc { x} over {2 SQRT { Dt} }]

atoms / [eqn: cm^3]

이러한 predisposition 에 의해 실리콘 표면에 침투된 도펀트의 총 양은,

[eqn: Q`(t) = INT _{ 0}^{inf } N(x,t) dx = { 2} over { pi} SQRT { Dt}~ N_o ~~atoms /cm^2]

4-3-2 Drive-in diffusion

- Most common sources for P. As, Sb, B form a glassy layer on Si during predeposition. This is commonly etched off before drive-in in dilute HF to prevent this glass form acting as a source of additional dopant atoms during drive-in.

- [eqn: O_2] or [eqn: H_2 O] ambient used to grow [eqn: SiO_2] for next masking step.

Drive-in 공정에 대한 boundary conditions:

a) [eqn: { partial N} over {partial x } RIGHT | _{x = 0}= 0] 즉, no loss of impurity to growing oxide (unrealistic assumption)

b) N(∞,t) = 0  infinite crystal assumption

c) N(x,0) = [eqn: N_o~ erfc { x} over {2 SQRT { Dt} }] pre-deposition , delta function

d) D = constant

여기서 a) 의 조건은 drive-in 공정 중에 더 이상의 도펀트가 공급되거나 또는 실리콘 표면으로부터 이탈되지 않는다는 것을 수식화 한 것이며 b)의 경우는 확산거리에 한정이 있다는 것을 나타낸 것이다. 또 c)는 drive-in 이전에 행한 predisposition에 의해 초기 도펀트 분포가 정해진다는 것이다. Fick's 2nd law 를 풀기 위해서는 앞서의 4 가지 조건이외에도 다음의 가정이 필요하다.

[eqn: SQRT { Dt} ~_{Drive-i n}~ >>~ SQRT { Dt} `_{Predep}]

즉 도펀트의 확산은 주로 Drive-in 시기에 이루어지며 predep 에 의한 dopant profile 은 delta function으로 가정할 수 있다는 것이다. 이러한 가정하에서 Fick's 2nd law 의 differential equation을 풀면,

[eqn: N(x,t) = { Q} over { SQRT { pi Dt} } e^{- { x^2} over {4Dt } }~~ atoms/cm^3]

여기서 Q 는 앞서 predep 동안에 주입된 도펀트 양.

만약 predep의 시간이 drive-in 시간과 비슷하다면 아래와 같이 복잡한 식으로 Fick's 2nd law에 의한 partial differential equation 이 풀어진다.

[eqn: N(x,t) = { 2 N_o} over {pi } INT _{ 0}^{mu } { e^{-beta (1 + mu^2 `)}} over {1 + mu^2 }d mu~~~~~~~~~~~## where~~~mu = LEFT ( { D_1 t_1} over {D_2 t_2 } RIGHT )^1/2 ,~ beta = LEFT ( { x} over {2 SQRT { D_1t_1 + D_2 t_2} } RIGHT )^2]

[eqn: SQRT { { Dt_{Drive-i n}} over {Dt_{Predep} } } ~~ >~~ 4] 이면 uncoupled solution을 사용할 수 있으나 4 이하이면 exact solution을 사용하여야 한다.

4-3-3 실제 공정의 설명

실제공정에 들어가기 전에 집적공정에서의 도펀트 확산은 일반적인 불순물의 확산과는 다른 점이 있다는 것을 알아볼 필요가 있다.

silicon은 아래 그림과 같이 diamond cubic 구조를 가지고 있으므로 unit cell 당 원자의 수는 8 개이다. lattice constant 값이 5.4 Å 이므로 [eqn: cm^3] 당 실리콘원자의 갯수는 [eqn: 8 over {(5.4 times 10^-8` )^3 } ~approx ~5 times 10^22 ~개] 가 된다. 예를 들어 전기저항이 10 ohm-cm 정도 되기위해서는 실리콘에 도펀트를 약 [eqn: 10^16 /cm^3] 만큼 확산시켜야하는데 이경우 5백만개의 실리콘 원자 마다 한개의 도펀트가 실리콘 재료내에 있는 셈이 된다. 이정도의 불순물은 기계적 성질에는 아무런 영향을 주지 않으나 전기적으로는 도핑하기 전에 저항이 1000 ohm-cm 이상이던 것이 백배나 저항이 낮아지게 되므로 큰 영향을 주는 것이다. 보통 극히 낮은 저항을 필요로 할 때는 [eqn: 10^18] 에서 [eqn: 10^19 /cm^3] 로 불순물을 도핑한다.

4-3-4 확산 장치

도펀트가 가져야 할 요건

1. high maximum solubility

2. no damage to Si substrate

3. formation of etchable glasses on Si surface

4. reproducible, batch fabrication

p-type dopant (Group III)

In - moderately deep lying impurity (0.16 eV above the valence band)

- solid solubility approx [eqn: 10^19] /[eqn: cm^3]

Ga - not masked by [eqn: SiO_2]

Al - reacts with [eqn: O_2] in Si lattice

B - solid solubility approx 5 times [eqn: 10^20] /[eqn: cm^3]

- D [eqn: approx 10^-12] [eqn: cm^2] /sec @ 1150[eqn: ^o] C -> phosphorous와 거의 같다.

- 앞서의 필요조건을 만족시킴.

-> 현재 유일한 p-type dopant for silicon

가장 평범한 B source 는 [eqn: B_2 H_6] (gas) 와 [eqn: BBr_3] (liquid) 이다.

아래와 같은 장치에서 확산이 이루어지는데 두 단계로 나눌 수 있다.

1 단계 반응 : [eqn: B_2 H_6 + 3 O_2 { } buildrel Lrarrow {300 `^o C } { } B_2 O_3 + 3 H_2 O## BBr_3 + 3 O_2 ~->~2 B_2O_3 + 6 Br~~~~~~]

2 단계 반응 : [eqn: 2 B_2 O_3 + 3 Si ~LRARROW~ 4 B + 3 SiO_2]

- [eqn: B_2 O_3] 가 wafer 표면에 deposit 되어 boro-silicate glass 를 형성한다.

- pre-deposition 후에 boro-silicate glas는 boron이 너무 rich 하지 않는 한 dilute HF 에 “etched off" 된다.

n-type dopant

P, As, 그리고 Sb 등은 앞서 도펀트 조건을 만족하는 원소들이며 실제로 집적회로 가공에 쓰이고 있다.

-특기사항

1. Sb 또는 As 은 P 보다 10배 이상 낮은 확산계수를 갖는다.

2. Sb 의 solid solubility 가 낮아서 NPN bipolar 트랜지스터의 emitter 용으로는 적합하지 않다. 주로 bipolar transistor의 buried layer formation 시 사용된다.

3. As 의 vapor pressure가 높아서 epitaxial growth의 경우 autodoing 효과가 크지만 확산계수가 낮으므로 고집적소자의 형성 시 요구되는 source 및 drain의 shallow junction의 형성에 이용된다.

Phosphorous system

gas는 [eqn: PH_3] , 액체소스는 [eqn: POCl_] [eqn: POCl_3]가 주로 쓰인다.

역시 두단계에 의해 분해된다.

1 단계 : [eqn: 2 PH_3 + 4 O_2 ~->~ P_2 O_5 + 3 H_2 O~~## 4 POCl_3 + 3 O_2 ~->~2 P_2 O_5 + 6 Cl_2]

2 단계 : 2 [eqn: P_2 O_5] + 5 Si [eqn: ->] 4 P + 5 [eqn: SiO _2]

- boron의 경우와 마찬가지의 furnace configuration을 갖는다.

- [eqn: P_2 O_5] 가 wafer 에 deposit 되어 phospho-silicate glass를 형성 : boro-silicate glass 의 경우와 달리 dilute HF에 쉽게 etched-off 된다.

As and Sb system

- 일반적으로 [eqn: As_2 O_3] 와 [eqn: Sb_2 O_3] 등과 같은 solid source를 사용한다.

- two zone furnace 또는 closed box source 가 쓰인다.

[eqn: PMATRIX { {2Sb_2 O_3~ }# # {2 As_2 O_3~ } } +3Si ~LRARROW~ 3SiO_2 + PMATRIX { { 4Sb~}## {4As~ }}]

위의 예에서 보면 base 영역의 경우 4 번의 temperature cycles을 거치게 된다. 그리고 emitter는 두 개의 temperature cycle을 거치게되므로 정확한 dopant profile을 얻기 위해서는 다음과 같은 계산이 이루어져야한다.

BASE : [eqn: (Dt) _eff ~= ~(Dt)_Base^ Predep + (Dt)_Base^Drivein + (Dt)_Emitter^Predep + (Dt)_Emitter^Drivein]

EMITTER : [eqn: (Dt)_eff = (Dt)_emitter^Predep + (Dt)_Emitter^Drivein]

일반적으로 [eqn: (Dt)_eff = SUM Dt]

B-E junction 은 다음의 조건에서 형성된다.

[eqn: N_o ~erfc x over {2 sqrt {Dt}} = Q over sqrt {pi D t} e ^ {x^2 over {4Dt}}}]

또한 Collector 와 Base의 junction은 다음의 조건에서 형성된다.

[eqn: Q over{sqrt{pi D t}}e^{x^2 over {4Dt}} = N_BC]

4-4 Evaluation of diffused layers

확산된 부분의 모양을 아래 그림에 나타내었다.

양 끝으로 특정된 저항의 크기는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: R = {rho (t) } over t l over W]   where, [eqn: rho](t) = resistivity in ohm cm which is a function of thickness

or,

[eqn: R = rho_s l over W] where [eqn: rho_s] = sheet resistance of layer in ohms

만약 [eqn: l] = W 인 경우는  R 값이 바로  [eqn: rho_s] 가 되며, 집적공정에서는 마스크를 이용하여 저항을 측정할 수 있는 패턴의 형성 시 [eqn: l] = W 로 하여 직접 측정한 값이 바로 sheet resistance 가 되도록 한다.   예를 들어, bipolar transistor의 base 경우 [eqn: rho_s] 가 약 200/square 정도이고 emitter는 5 ohm/square 쯤 된다.

일반적으로 확산층의 저항은 four point probe 로 측정하는데 아래 그림에 나타내었다.

접합의 두께인 [eqn: X_j] 에 전자의 흐름이 국한되는 경우 (다른 부분은 저항이 커서 실질적으로 전류가 흐를 수 없다. ) [eqn: X_j] << s 그리고 wafer의 lateral dimension이 s 값보다 원체 작다면 아래의 식이 성립한다.

[eqn: rho_s ~=~ pi over {ln 2}V over I~ =~ 4.53 V over I ~~ohms## bar rho_s~ =~ 1 over {bar sigma}~ =~ 4.53 V over I X_j~~~~ ohm`` cm]

여기서 [eqn: rho_s] = sheet resistance 이고 [eqn: bar rho] = average resistivity of diffused layer, 그리고 [eqn: bar sigma] 는 average conductivity of diffused layer 이다. 따라서 [eqn: rho_s] 를 four point pobe를 사용하여 측정하고 average conductivity를 [eqn: 1 over {rho_s`` X_j }] 로부터 구한 다음 Irwin's curve로부터 surface의 dopant 농도인 [eqn: N_s] 를 구할 수 있다.

[eqn: rho = 1 over {q mu N｝] 으로부터 average conductivity [eqn: bar sigma = 1 over {bar rho} =][eqn: 1 over x_j INT _{ 0}^{x_j }q mu q(n) left[ N(x) - N_BC right] dx] 가 되며 이 적분 결과를 나타낸 것이 바로 Irwin's Curve 이다.

예 1. [eqn: 10^15] / [eqn: cm^3] 으로 도핑된 기판에 base diffusion을 행하였는데 접합의 두께가 3[eqn: mu] 이고 sheet resistance 값이 200 ohm 일때 dopant의 profile을 구하라.

[eqn: bar sigma = 1 over {rho_s~ X_j} = 1 over {(200~ ohm)(3 times 10^-4 cm )}= 16.7 /ohm `~cm]

Irwin's curve로 부터

[eqn: N_s approx 4 times 10^18 /cm^3] = surface concentration

따라서 base dopant의 profile은 옆의 그림과 같다.

예 2. 아래와 같은 전기적 특성을 갖는 bipolar 트랜지스터의 제작을 위한 predeposition 과 dirve-in 공정을 설계하라.

[eqn: rho_s = 50 Omega/sq~~~## X_j = 3 mu~~~~~~~## N_BC = 10^15 /cm^3]

우선 boron을 도펀트로 쓴다고 가정하고 predep의 온도를 [eqn: 950 ^o] C, 그리고 drive-in 온도를 [eqn: 1100 ^o C] 라 정한다. 이들 온도는 전형적으로 쓰이는 온도들이다. 만약 이들 온도가 적절치 않으면 계산 결과에 따라 바꾸게 된다.

[eqn: bar sigma = 1 over {rho_s X_j }= 1 over {(50 Omega/sq)(3 times 10^-4 cm ) } = 67 / Omega cm]

따라서 Irwin's curve 로 부터 [eqn: N_s = 2.3 times 10^19 / cm^3] 임을 알 수 있다.

drive-in 후에는 base diffusion이 Gaussian 형태를 가지게 되므로

[eqn: N(X, t) = { Q} over { SQRT { pi Dt} } e^{- { X^2} over { 4Dt} }]

그리고 @ X = [eqn: X_j] , N(X,t) = [eqn: N_BC] = [eqn: 10 ^15 /cm^3]

따라서 [eqn: N_BC = Q over { SQRT { pi Dt} }e^{- { X_j`^2} over {4Dt } }] 에서   [eqn: Q over { SQRT { pi Dt} } = N_s]

결국 [eqn: Dt = { X_j`^2} over {4 ln { N_s} over {N_BC } }]

따라서 [eqn: Dt = { (3 times 10^-4 cm)^2} over {4 ln { 2.3 times 10^19} over {10^15 } } = 2.24 times 10^-9 cm^2]

만약 drive-in 이 1[eqn: 100 ^o] C에서 이루어졌다면 이 온도에서는

D = [eqn: 3 times 10^-13 cm^2]/sec 이므로

[eqn: t_{drive-i n} = { 2.24 times 10^-9 cm^2} over { 3 times 10^-13 cm^2 /sec} = 2.07 hrs]

[eqn: Q over { SQRT { pi Dt} } = N_s = 2.3 times 10^19]   따라서 predep 에 의한 Q 값은,

[eqn: Q = (2.3 times 10^19 ) (SQRT{pi})(sqrt{2.24 times 10^-9})= 1.93 times 10^15]

predep 에 의한 profile이 erfc 에 따른다면 즉, [eqn: N(X,t) = N_o~ erfc X over {2 sqrt{Dt}}] 그리고

[eqn: Q = 2 over sqrt{pi}sqrt{Dt}~N_o] @ [eqn: 950 ^o C], [eqn: N_o approx 2.5 times 10^20 /cm^3] (solid solubility) and

[eqn: D approx 9 times 10^-15 cm^2] /sec 따라서,[eqn: t = LEFT ( { 1.93 times 10^15} over {2.5 times 10^20 } RIGHT )^2 LEFT ( sqrt{pi} over 2 RIGHT )^2 1 over {9 times 10^-15} = 1.44 ~hrs]

결국 [eqn: 950 ^o C] 에서 1.44  시간동안 predep을 행한 후에 [eqn: 1100 ^o C] 에서 2.07 시간동안 drive-in을 행하면 된다. 여기서 온도와 시간들이 적절하지만 만약 predep의 시간을 줄이고 싶다면 predep의 온도를 [eqn: 1000 ^o C] 정도로 올리면 된다.

4-5 ADVANCED TOPICS ON DIFFUSION

4-5-1 lateral diffusion

산화막으로 maksing 하여 특정부위에 확산을 하는 경우 아래 그림과 같이 마스크 밑으로도 확산이 이루어지게 되는 데 일반적으로 [eqn: X_2 != X_1] 이며 [eqn: X_2] 는 [eqn: X_1] 보다 작다.

정확한 계산에 의하면 efrc 과 Gaussian 모두 아래의 식이 성립한다.

[eqn: X_lat~ ( n,t) ~approx~ 0.8~ X_{ver t}~ (n,t)]

4-5-2 Field aided diffusion

어떤 온도에서든지 실리콘 내의 intrinsic carrier의 농도는 다음 식으로 주어진다.

[eqn: n_i `^2 = N_C~ N_V ~e ^{E_G /kT}]

여기서 [eqn: n_i] 는 intrinsic carrier의 농도이며 [eqn: N_C] 는 conduction band의 effective density of states 그리고 [eqn: N_V] 는 valence band의 effective density of states, 그리고 [eqn: E_G] 는 실리콘의 band gap 으로 1.1 eV 이다.

위의 그림에 따르면

온도[eqn: ( ^o C )]      [eqn: n_i~ (갯수/cm^3 )]

상온               [eqn: 1.3 times 10^10]

900                [eqn: 4 times 10^18]

1200               [eqn: 2 times 10^19]

따라서 온도가 높을 수록 도펀트의 농도가 상당히 높아야만 intrinsic carrier 농도를 능가할 수 있게 된다. 그런데 도펀트들이 실리콘 내에 주입되어 substitutionally 확산하게 되면 다음과 같이 이온화된다.

[eqn: N_D~ ->~ N_D`^+ + e^-## N_A~ ->~ N_A`^- + h^+]

이경우 전자나 hole 은 도펀트 원자보다 빠르게 확산되므로 이온화된 도펀트 원자에의해 전기장이 형성되어 전기장에 의한 확산계수의 변화를 가져오게 된다. 이러한 소위 “pulling" 효과는 effective 확산계수로 나타낼 수 있으며 그 결과는 다음과 같다.

[eqn: D_eff~ = D~ LEFT { 1 + 1 over {sqrt{1 +4 LEFT ( { n_i} over {N } RIGHT )^2 }}RIGHT }]

where, D = "normal" diffusion coefficent at low concentration of dopants

N = donor or acceptor concentration

NOTE: [eqn: D_eff]의 최대값은 2D 이며 N >> [eqn: n_i] 일 때 나타난다.

4-5-3 Concentration dependent diffusion

실험적으로 D 는 도펀트 농도가 클수록 커지는 것으로 관찰되는 데 이를 옆의 그림에 나타내었다. 그림은 phosphorous의 경우를 나타내었으나 일반적으로 모든 도펀트에 해당하며 불순물의 농도가 클 때 확산계수의 변화가 유도된다는 것은 일반적으로 알려진 확산기구 이외의 현상이 벌어지고 있다는 것이다.  불순물의 농도 증가에 따른 확산계수의 증가에 대한  현재까지 알려진 학설 중에 서 가장 유력한 것은 실리콘 vacancy 농도의 변화이다. 즉 substitutional diffusion의 경우, 확산계수의 증가는 바로 실리콘 vacancy 농도의 증가를 의미하기 때문에 농도변화에 따른 silicon vacancy 농도의 증가를 설명하는 학설이다. 옆의 그림과 같이 silicon vacancy는 여러가지 charge state를 가질 수 있는 것으로 밝혀져 있으며 도펀트 농도에 따라 변화하는 Fermi energy level의 변화에 따라 실리콘 내에 존재하는 vacancy의 charge state 가 결정된다.

기본 반도체 물리에서 다뤘듯이 전자와 hole의 농도는 Fermi energy level에 의해 결정되며 이는 charged vacancy에도 그대로 적용되어 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: [V^- ]~ =~ [V^o ]~ e^{ { E_F - E_V-} over {kT } }]

where, [[eqn: V`^o]] = [eqn: 5 times 10^22 e^{-E_A over kT}] and [eqn: E_A approx 2.6 eV]

이런 식으로 분석하면 확산계수는 다음과 같이 나타내어진다.

[eqn: D = D_i^o~ +~ n over n_i D_i^- ~+ ~LEFT ( n over n_i RIGHT )^2 D_i^= ~+~ LEFT ( p over n_i RIGHT )`D_i^+]

여기서 [eqn: V^++]와 coupling 되는 [eqn: D_i^++] 는 실험적으로 나타나지 않으므로 생략하였다.

따라서 일정확산온도에서 전자나 hole의 농도가 [eqn: n_i] 보다 클 경우 확산계수는 전자 또는 hole의 농도에 따라 직선적으로 또는 점진적으로 증가하게 된다. 즉,

As 의 경우는 D ∝ n, phosphorous 의 경우는 D ∝ [eqn: n^2] , 그리고 boron의 경우는 D ∝ p 가되며 자세한 분석은 이 책의 범위를 넘으므로 생략한다.

Core findings

1. 확산 profile은 Fick's 2nd law에 의한 partial differential equation의 근을 구함으로써 알수 있다. 일반적으로 확산계수는 상수로 가정한다.

2. predep은 doapant가 계속 공급되는 상황으로 partial differential equation의 근은 complementary error function으로 나타나고 drive-in의 경우는 더 이상의 dopant의 공급이 없으므로 그 해가 Gaussian function으로 나타난다.

3. 확산된 dopant의 농도는 표면 저항으로부터 계산할 수 있는 데 표면 농도는 4-point probe로부터 측정된 저항으로 구한다.