전기에너지 변환(Electric Energy Conversion) 시험 답안                         정현교

중간고사 2007. 11. 17(토)

1.

ⅰ) 해석하고자 하는 계(field)에서 전자파가 발생하는 도체의 길이를 l, 전자파의 속도를 c라고 할 때, 계 매우 작아서 지연시간([eqn: TRIANGLE t= {l} over {c}])이 0에 근접하면, 한 주기 T([eqn: T`=2 pi f])에 대해서

[eqn: {TRIANGLE t} over {T} = {l/c} over {2 pi /w} << 1]이므로, [eqn: {l} over {lambda } << 1],

[eqn: THEREFORE ```l << lambda ``,```where````c=f lambda]

즉, 도체의 길이가 전자파의 파장보다 훨씬 작을 때, 이 계를 준정적인 계라고 한다.

ⅱ) 준정적인 계에서의 전자기 방정식

< 준정적 자계계 >

[eqn: vec{NABLA } TIMES vec{E} ``=- {Partial vec{B}} over {Partial t}]

: 자계가 시간에 따라 변화하면 전계가 생성된다. 즉, 자속이 시간에 따라 변화하면 기전력이 생성되는데 이를 패러데이의 전자유도 법칙이라고 한다.

[eqn: vec{NABLA } BULLET vec{B} ``=0]

: 자계는 발산하지 않으며, 독립된 자기 전하는 존재하지 않는다. 즉, 닫힌 공간을 빠져나가는 자속은 항상 다시 들어오며, 자속은 보존된다.

[eqn: vec{NABLA } TIMES vec{B} ``= mu _{0} vec{J}]

: 전류가 흐르면 자계가 생성된다. 암페어 둘레 법칙.

[eqn: vec{NABLA } BULLET epsilon _{0} vec{E} ``= rho]

: 닫힌 공간을 빠져나가는 전속밀도의 양은 공간 내부의 전하량과 같다. 즉, 공간의 표면에서의 전계는 내부 전하에 의해 생성되며, 발산한다. 가우스 법칙.

[eqn: vec{NABLA } BULLET vec{J} ``=0]

: 닫힌 공간에 대해 빠져나가는 전류의 합(sum of outflux)은 0이다.

< 준정적 전계계 >

[eqn: vec{NABLA } TIMES vec{E} ``=0]

: (자계의 변화를 무시) 전계는 회전하는 소스에 의해 생성되지 않는다.

[eqn: vec{NABLA } BULLET vec{B} ``=0]

: 자계계에서와 동일한 식

[eqn: vec{NABLA } TIMES vec{B} ``= mu _{0} vec{J} ``+ mu _{0} {Partial epsilon _{0} vec{E}} over {Partial t}]

: 자계를 생성하는 회로에 대해, 연속된 회로의 중간에 도체 판에 의해 경로가 끊겨 있어도 전계가 시간적으로 변화하면(교류) 전류가 흐르게 되는데, 이 때 도체판 사이의 전류를 변위전류라고 한다. 이 식은 암페어 둘레법칙에 대해 변위전류항을 추가하여 맥스웰이 완성시킨 방정식이다.

[eqn: vec{NABLA } BULLET epsilon _{0} vec{E} ``= rho]

: 자계계에서의 식과 같음. 가우스 법칙.

[eqn: vec{NABLA } BULLET vec{J} ``+ {Partial rho } over {Partial t} =0]

: 닫힌 공간을 빠져나가는 전류의 총 양은 내부 전하의 변화량의 총 양과 같다. 즉, 전하는 보존되며, 이를 전류연속 방정식이라고 한다.

2.

자성체 내의 원자들은 모두 전자들을 가지고 있는데, 이러한 전자는 스스로 회전운동을 하면서 각운동량을 갖게 된다. 한편 이러한 스핀으로 인해 전자는 자기쌍극자 (magnetic dipole moment) 를 갖게 되는데, 자성체 내부에서는 이러한 쌍극자들이 비교적 한 방향으로 정렬되어 있다. 한편, 이러한 쌍극자 모멘트 (dipole moment) 의 밀도를 이라고 하면 평균적인 쌍극자 모멘트는  가 된다. 이때  이 되고,     (magnetization 에 curl을 취하면 magnetization 에 의한 current density 를 구할 수      있다)

에서

(1)

한편,

위 식을 (1)식에 대입하면

3.

위의 그림과 같이 [eqn: vecH_1], [eqn: vec H_2], [eqn: vec H_3]을 잡으면

[eqn: cases{ { H_3 g + H_2 g = N i_2 } # { H_1 g - H_2 g = N i_1} }]	(1)

플런저에서 [eqn: vecDEL BULLET vecB = 0]이므로

[eqn: mu H_3 2 pi r (d+x) = muH_2 2 pi r 2 d + mu H_1 2 pi r (d-x)]	(2)

(1), (2)를 연립하여 풀면 다음과 같이 [eqn: vecH_1], [eqn: vec H_2], [eqn: vec H_3]을 구할 수 있다.

[eqn: H_1 = N over 4g (3 + x over d ) i_1 + N over 4g (1+ x over d ) i_2]

[eqn: H_2 = N over 4g (1 + x over d ) i_2 - N_4g (1 - x over d ) i_1]

[eqn: H_3 = N over 4g (1- x over d ) i_1 + N over 4g (3 - x over d ) i_2]

[eqn: THEREFORE lambda_1 = N PHI_1 # " " = N mu H_1 2 pi r (d-x) # " " = N mu LEFT{ N over 4g ( 3 + x over d ) i_1 + N over 4g ( 1 + x over d ) i_2 RIGHT} 2 pi r d ( 1- x over d )]

[eqn: " " = { mu N^2 2 pi rd } over {4g} LEFT { LEFT [ { 3 - 2 ( x over d ) - ( x over d )^2 } RIGHT ] i_1 + LEFT [ (1- ( x over d )^2 RIGHT ] i_2 RIGHT } # " " = L_11 i_1 + L_12 i_2]

여기서 [eqn: L_0 = {mu N^2 pi rd } over {2g}]임을 알 수 있다.

[eqn: THEREFORE lambda_2 = N PHI_2 # " " = N mu H_3 2 pi r (d+x) # " " = N mu LEFT{ N over 4g ( 1 - x over d ) i_1 + N over 4g ( 3 - x over d ) i_2 RIGHT } 2 pi r (d + x )]

[eqn: " " = { mu N^2 2 pi rd } over {4g} LEFT { LEFT [ (1- ( x over d )^2 RIGHT ] i_1 + LEFT [ { 3 + 2 ( x over d ) - ( x over d )^2 } RIGHT ] i_2 RIGHT } # " " = L_12 i_1 + L_22 i_2]

4.

1번 노드에서   [eqn: f = K_1 x_1 + B_1 dx_1 over dt]   (1)

2번 노드에서   [eqn: f = K_2 (x_2 - x_1 ) + B_2 ( dx_2 over dt - dx_1 over dt )]   (2)

(1)에서 Laplace 변환을 통해

[eqn: K_1 X_1 + B_1 s X_1 = F]

[eqn: X_1 ( B_1 s + K_1 ) = F]

[eqn: X_1 = {F over B_1} over { s + K_1 over B_1 }]

따라서 [eqn: x_1]의 natural frequency [eqn: s = K_1 over B_1 RARROW omega = K_1 over jB_1]

(2)에서

[eqn: F = (K_2 + s B_2 ) X_2 - (K_2 + s B_2 ) X_1]

[eqn: F=(K_2 + sB_2 ) X_2 - { s + K_2 over B_2 } over { s + K_1 over B_1 } BULLET { B_2 over B_1 } F]

[eqn: X_2 = {F + {s + K_2 over B_2 } over { s + K_1 over B_1 } BULLET B_2 over B_1 F } over {sB_2 + K_2 }]

따라서 [eqn: x_2]의 natural frequency [eqn: s = K_2 over B_2 RARROW omega = K_2 over jB_2]

5.

공극에서의 permeability를 [eqn: mu]라고 하자. 그림에서 대칭성을 이용하면 [eqn: LEFT | vecH_2 RIGHT | = LEFT | vecH_3 RIGHT |]

한편, [eqn: LEFT { { H_1 x + H_2 g = N i } # { mu_0 H_1 2wd = mu H_2 w d + mu H_3 w d }]

[eqn: mu_0 H_1 2 = mu H_2 + mu H_3]

[eqn: 2 mu_0 H_1 = mu H_2]

[eqn: THEREFORE H_1 mu over 2mu_0 H_2]

[eqn: mu over 2mu_0 x H_2 + H_2 g = N i]

[eqn: (g + mu over 2mu_0 x)H_2 = N i]

[eqn: H_1 = { N i } over { x + 2mu_0 over mu g }], [eqn: H_2 = { N i } over { g + mu over 2mu_0 x } = H_3]

[eqn: THEREFORE lambda = N PHI = N mu_0 H_1 2wd # " " = { mu_0 N^2 2wd } over { x + 2mu_0 over mu g } i]

[eqn: THEREFORE w_m ' = INT _{0} ^{i} {lambda di } = { mu_0 N^2 2wd } over { 2 (x + 2mu_0 over mu g) } i^2 = { mu_0 N^2 wd } over { x + 2mu_0 over mu g } i^2]

[eqn: f^e = { round w_m ' } over { round x } = { mu_0 N^2 wd } over { ( x + 2mu_0 over mu g )^2 } i^2]

6.

(a) 간단히

(b)  값이 일정하다. (rotor coil is shorted)

( 과  가 서로 coupling)

(c) 전류  값이 변하기 때문에

먼저  이므로

가 된다.

7.

(a)  은 공극과 맞닿은 부분에 유도된 전하,  를 유전체 부분과 맞닿은 부분의 유도된 전하장이라고 하자. 이때 아래와 같은 식을 관계를 갖고,

와  식을 이용하면  과 를 계산할 수 있다. 이 식을 정리하면  값을 계산할 수 있고, 같은 과정을 반복하면  값 역시 계산          가능하다.

(b) 를 구하기 위해서  을 0에서  로 변화시키고,  을 0에서  로 변화시킨다.

(c)