전기에너지 변환(Electric Energy Conversion) 시험 답안                         정현교

기말고사 2007. 12. 15(토)

1.

준정적 전자계에서의 전자기 방정식은 다음과 같다.

자계계	전계계
[eqn: vec{NABLA } TIMES vec{B} ``=` mu _{0} vec{J}] ① [eqn: vec{NABLA } TIMES vec{E} ``=`- {Partial vec{B}} over {Partial t}] ② [eqn: vec{NABLA } BULLET vec{J} ``=`0] ③	[eqn: vec{NABLA } TIMES vec{B} ``=` mu _{0} vec{J} ``+` mu _{0} epsilon _{0} {Partial vec{E}} over {Partial t}] ④ [eqn: vec{NABLA } TIMES vec{E} ``=`0] ⑤ [eqn: vec{NABLA } BULLET vec{J} ``=`- {Partial rho } over {Partial t}] ⑥

식 ①,④와 식 ②,⑤에 각각 [eqn: {vec{E}} over {mu _{0}} ,` {vec{B}} over {mu _{0}}]을 내적한 뒤 빼주면,

ⅰ) 자계계의 식은

[eqn: {vec{E}} over {mu _{0}} BULLET vec{NABLA } TIMES vec{B} ``- {vec{B}} over {mu _{0}} BULLET vec{NABLA } TIMES vec{E} ``=` vec{E} BULLET vec{J} ``+ {vec{B}} over {mu _{0}} BULLET ( {Partial vec{B}} over {Partial t} )]

[eqn: - vec{NABLA } BULLET ( vec{E} ` TIMES vec{B} `)=` vec{E} BULLET vec{J} ``+ {1} over {2} epsilon _{0} {Partial ( vec{E} BULLET vec{E} )} over {Partial t}]

[eqn: - oint _{S} ^{} {( vec{E} ` TIMES vec{B} `)} BULLET d vec{S} ``= int _{V} ^{} {( vec{E} BULLET vec{J}} `)dV``+ int _{V} ^{} {{Partial } over {Partial t}} {1} over {2 mu _{0}} ( vec{B} BULLET vec{B} )dV]

[eqn: THEREFORE `w _{m} = {1} over {2 mu _{0}} vec{B} BULLET vec{B}]

ⅱ) 전계계의 식은

[eqn: {vec{E}} over {mu _{0}} BULLET vec{NABLA } TIMES vec{B} ``- {vec{B}} over {mu _{0}} BULLET vec{NABLA } TIMES vec{E} ``= {vec{E}} over {mu _{0}} BULLET mu _{0} vec{J} ``+ vec{E} BULLET ( {Partial epsilon _{0} vec{E}} over {Partial t} )]

[eqn: - vec{NABLA } BULLET ( vec{E} ` TIMES vec{B} `)=` vec{E} BULLET vec{J} ``+ {vec{B}} over {mu _{0}} BULLET ( {Partial vec{B}} over {Partial t} )=` vec{E} BULLET vec{J} ``+ {1} over {2 mu _{0}} {Partial ( vec{B} BULLET vec{B} )} over {Partial t}]

[eqn: - oint _{S} ^{} {( vec{E} ` TIMES vec{B} `)} BULLET d vec{S} ``= int _{V} ^{} {( vec{E} BULLET vec{J}} `)dV``+ int _{V} ^{} {{Partial } over {Partial t}} {1} over {2} epsilon _{0} ( vec{E} BULLET vec{E} )dV]

[eqn: THEREFORE `w _{e} = {1} over {2} epsilon _{0} vec{E} BULLET vec{E}]

2.

[eqn: {Partial W _{e}} over {Partial t} `=`v {dq} over {dt} `-f ^{e} {dx} over {dt}] 이므로, 시간미분 term을 소거시키면

[eqn: THEREFORE ``Partial W _{e} `=`v`dq`-f ^{e} dx],  where [eqn: q=q(v,`x),```f ^{e} =f ^{e} (v,`x)]

코에너지는 [eqn: W _{e} prime =vq-W _{e}]와 같이 표현되므로, 미소 에너지에 대하여

[eqn: dW _{e} prime =d(v'q')-dW _{e} =v'dq'+q'dv'-dW _{e}]

v'

x'

x'=x

dx'=0

dv'=0

f =0

v

x

여기서 [eqn: ` Partial W _{e} `=`v`dq`-f ^{e} dx] 이므로,

[eqn: dW _{e} prime =qdv prime -f ^{e} dx prime]

오른쪽 그림과 같은 적분경로로 위 식을 적분하면,

[eqn: W _{e} prime = int _{0} ^{V} {q(v',`x)} dv prime - int _{0} ^{x} {f ^{e}} (0,`x')dx prime]

[eqn: THEREFORE ```W _{e} prime = int _{0} ^{V} {q(v prime ,`x)} `dv prime]

3.

[eqn: lambda _{as} =`L _{as} `I _{as} +Mcos theta I _{ar} -Msin theta I _{br}# lambda _{bs} =`L _{bs} `I _{bs} +Mcos theta I _{ar} +Mcos theta I _{br}# lambda _{ar} =`L _{ar} `I _{ar} +Mcos theta I _{as} +Msin theta I _{bs}# lambda _{br} =`L _{br} `I _{br} -Msin theta I _{as} +Mcos theta I _{bs}# T ^{e} = {Partial } over {Partial theta } (MI _{as} I _{ar} cos theta -MI _{as} I _{bs} sin theta +MI _{ar} I _{bs} sin theta +MI _{bs} I _{br} cos theta )# ``````````=`MI _{r} I _{s} (cos(w _{r} t)sin(w _{s} t)-sin(w _{r} t)cos(w _{s} t))cos(w _{m} t+ gamma )# ```````````````````-I _{r} I _{s} (cos(w _{r} t)cos(w _{s} t)+sin(w _{r} t)sin(w _{s} t))sin(w _{m} t+ gamma )# ``````````=MI _{s} I _{r} (sin((w _{s} -w _{r} -w _{m} )t- gamma ))# 이`때,`w _{m} =w _{s} -w _{r} 인`조건을`대입하면,#]

[eqn: T ^{e} =-MI _{s} I _{r} sin gamma # THEREFORE `P _{m} =w _{m} T ^{e} =-w _{m} MI _{s} I _{r} sin gamma]

4.

(1) 보존장에서

[eqn: NABLA TIMES vec{E} `=0`이므로,# int _{} ^{} {NABLA TIMES vec{E} `d vec{s} `= int _{} ^{} {} vec{E} dl`=0`이다.}# 여기에서 int _{1} ^{2} {} vec{E} dl`=V _{2} -V _{1} 으로`전압차가`되는데,`폐곡선에`대해`한바퀴`순환`적분을`하면`0이`되므로,# 회로에서`폐회로를`잡아`전압의`증감을`계산하면`0이`된다.]

(2) 어떤 노드에 들어가고 나가는 전류의 합은 0이다. 즉

[eqn: sum _{} ^{} I _{i} =0인데,`이것은# # NABLA vec{J} + Partial rho / Partial t=0에서`왔다.# # 왜냐하면` sum _{} ^{} I _{i} = int _{} ^{} {NABLA vec{J}} d vec{s`} `=`- int _{} ^{} {{Partial rho } over {Partial t} ds`인데,}]

node에서 전하가 생성되거나 소멸되지 않으므로

[eqn: {Partial rho } over {Partial t} 의`net`값은`0이`된다.`즉` sum _{} ^{} I _{i} =`0이`된다.]

5.

한주기동안의 회전수 : 2/n극

60Hz이므로 2/15*60 = 8

1분간은 60*8=480

480 rpm

6.

(a) 그림에서

(b) 위의 (a)에서

[eqn: i={(x+ {a} over {b} d)/( mu _{0} N ^{2} aw)} lambda # 따라서,`W _{m} = int _{} ^{} {id lambda =} {(x+ {a} over {b} d)/(2 mu _{0} N ^{2} aw)} lambda ^{2}]

(c) [eqn: `f ^{e} -dw _{m} /dx`=- lambda ^{2} /(2 mu _{0} N ^{2} aw)]

(d) 그림에서 I(t)=1/R*[eqn: d lambda /dt+i=1/R*d lambda /d+(x+(a/b)d) lambda /( mu _{0} N ^{2} aw)* lambda]

(e) M*d2x/dt2= Mg+fe=Mg-[eqn: {lambda ^{2}} over {2 mu _{0} N ^{2} aw}], 그러므로 (d)의 식에서 [eqn: lambda]를 시간 t와 x에 대한 함수로 구하고, 이를 위의 식에 대입하여 풀면 x(t)가 나온다.

7.

(a)

(b)

backward componet	forward compinent

(c) 가 될 때 amplitude의 크기는 , backward component가 0으로 가까워	진다. 이에 따라 ratio ->0

(d) forward component를 없애고 backward component Amp를 constant로 만들기 위해

그런데 는 0이다.

따라서

8.

(a) θ = 0도일시

stator와 rotor사이의 공극이 작아져 자기저항이 최소가 된다.

즉 flux가 최대가 되며, 자기 인덕턴스또한 최대

θ = 45도일시

stator와 rotor사이의 공극이 커져 자기저항이 최대가 된다.

즉 flux가 최소가 되며, 자기 인덕턴스또한 최소

90도를 주기로 반복하게 된다.

L의 식에서 cos4θ 와 cos8θ는 θ가 0도일때 최대값, 이에따라 L이 최대가 되며,

45도일때 L은 최소가 된다. 이에 따라 L의 식은 성립한다.

(b)

(c)

따라서 이기 위해서는 의 average가 0이 아니어야 하고, 이를 위해

9.

(a) 그림 (a)에서 [eqn: hat{V} `= {e ^{j phi } /Y} over {jX _{s} +e ^{j phi } /Y} hat{V} _{s}] 이므로, [eqn: THEREFORE ``` LEFT | {hat{V} `} over {hat{V} ` _{s}} RIGHT | = LEFT | {e ^{j phi } /Y} over {jX _{s} +e ^{j phi } /Y} RIGHT |]

ⅰ) [eqn: phi `=0]이면, [eqn: e ^{j phi } =1]이므로,

[eqn: THEREFORE ``` LEFT | {hat{V} `} over {hat{V} ` _{s}} RIGHT | = LEFT | {1/Y} over {jX _{s} +1/Y} RIGHT | = {1/Y} over {sqrt {X _{s} ^{2} +1/Y ^{2}}} = {1/Y} over {sqrt {10 ^{2} +1/0.01 ^{2}}} =0.995]

ⅱ) [eqn: phi `=45 DEG]이면, [eqn: e ^{j phi } = {1} over {sqrt {2}} (1+j)]이므로,

[eqn: THEREFORE ``` LEFT | {hat{V} `} over {hat{V} ` _{s}} RIGHT | = LEFT | {1/Y} over {jX _{s} + {1} over {sqrt {2} Y} (1+j)} RIGHT | = {1/Y} over {sqrt {{1} over {2Y ^{2}} +(X _{s} + {1} over {sqrt {2} Y} ) ^{2}}} =0.732]

(b) [eqn: | hat{V} `|`/ hat{|V} ` _{s} |=`1]이 되어야 하므로, [eqn: | hat{V} `|`= hat{|V} ` _{s} |], 즉, synchronous condenser는 [eqn: Y`e ^{-j phi }]에 대하여 [eqn: -Y`e ^{-j phi }]이어야 한다([eqn: Y`e ^{-j phi } +(-Y`e ^{-j phi } )=0]).

(a)에서 구한 식으로부터, [eqn: Y=Ye ^{-j phi } +Ye ^{-j( phi + pi )}]를 대입하면,

[eqn: THEREFORE ``` LEFT | {hat{V} `} over {hat{V} ` _{s}} RIGHT | = {1/|Y+Ye ^{-j pi } |} over {|jX _{s} +(e ^{-j phi } /|Y+Ye ^{-j pi } |)|} = {1} over {|jX _{s} (Y+Ye ^{-j pi } )+e ^{-j phi } |}]

ⅰ) [eqn: phi `=0]이면,

[eqn: THEREFORE ``` LEFT | {hat{V} `} over {hat{V} ` _{s}} RIGHT | = {1} over {|0+1|} =1]

ⅰ) [eqn: phi `=45 DEG]이면,

[eqn: THEREFORE ``` LEFT | {hat{V} `} over {hat{V} ` _{s}} RIGHT | = {1} over {|0+ {1} over {sqrt {2}} (1+j)|} =1]

그림 (a), (b)에 대해 부하에 전달되는 real power를 비교하면,

(a) 의 real power :[eqn: P _{a} = hat{V} hat{I _{s}} `= hat{V _{s}} {e ^{j phi } /Y} over {(jX _{s} +e ^{j phi } /Y)} {hat{V _{s}}} over {jX _{s} +e ^{j phi } /Y} = LEFT | hat{V _{s}} RIGHT | ^{2} LEFT | {e ^{j phi } /Y} over {jX _{s} +e ^{j phi } /Y} RIGHT | ^{2} Ye ^{-j phi }]

ⅰ) [eqn: phi `=0]이면,  [eqn: P _{a} =`99MW]

ⅰ) [eqn: phi `=45 DEG]이면,  [eqn: P _{a} =`61.42MW]

(b) 의 real power :[eqn: P _{b} = hat{V} hat{I _{s}} `= LEFT | hat{V _{s}} RIGHT | ^{2} LEFT | {1} over {jX _{s} (Y+Ye ^{-j pi } )+e ^{j phi }} RIGHT | ^{2} Ye ^{-j phi }]

ⅰ) [eqn: phi `=0]이면,  [eqn: P _{b} =`100MW]

ⅰ) [eqn: phi `=45 DEG]이면,  [eqn: P _{b} =`70.7MW]

∴ (b)의 경우 부하에 전달되는 real power가 더 크다.

10.

[eqn: lambda _{1} =Mi _{3} cos( phi - psi )+Li _{1}]

[eqn: lambda _{2} =Mi _{3} sin( phi - psi )+Li _{2}]

[eqn: lambda _{3} =L _{3} i _{3} +Mi _{1} cos( phi - psi )+Mi _{2} sin( phi - psi )]

토크를 구하기 위해 코에너지에 대한 식을 전개하면

[eqn: W _{e} prime = {1} over {2} Li _{1} ^{2} + {1} over {2} Li _{2} ^{2} + {1} over {2} L _{3} i _{3} ^{2} +Mi _{3} i _{1} cos( phi - psi )+Mi _{3} i _{2} sin( phi - psi )]이므로,

토크는,

[eqn: T ^{e} = {Partial W _{e} prime } over {Partial phi } =-Mi _{3} i _{1} sin( phi - psi )+Mi _{3} i _{2} cos( phi - psi )]

[eqn: T ^{e} =T _{s} =-K psi =-Mi _{3} i _{1} sin( phi - psi )+Mi _{3} i _{2} cos( phi - psi )]

[eqn: LEFT | L {di} over {dt} RIGHT | << LEFT | Ri RIGHT |] 로부터 [eqn: i _{1} ,`i _{2}]를 구하면,

[eqn: -i _{1} R= {d lambda _{1}} over {dt} =L {di _{1}} over {dt} +MI _{0} {d} over {dt} (cos( phi - psi ))=`-MI _{0} sin( phi - psi ) {d phi } over {dt}]

[eqn: THEREFORE ```i _{1} = {MI _{0} w _{phi }} over {R} sin( phi - psi ),`````where` {d phi } over {dt} =w _{phi }]

[eqn: -i _{2} R= {d lambda _{2}} over {dt} =L {di _{2}} over {dt} +MI _{0} {d} over {dt} (sin( phi - psi ))=MI _{0} cos( phi - psi ) {d phi } over {dt}]

[eqn: THEREFORE ```i _{2} =- {MI _{0} w _{phi }} over {R} sin( phi - psi )]

이렇게 구한 전류값 [eqn: i _{1} ,`i _{2}]를 위의 토크식에 넣고 전개하면,

[eqn: THEREFORE ```T ^{e} =- {M ^{2} I _{0} ^{2}} over {R} w _{phi }]

[eqn: T ^{e} =T _{s} =-K psi]로부터

[eqn: THEREFORE ``` psi = {M ^{2} I _{0} ^{2}} over {KR} w _{phi }]