1. (a)는 Newton’s law 기반의 flap bending eq. 으로, 다음과 같은 가정이 포함된다 : small deflection, 수직변위에 비해 요소의 회전이 작다, 구조의 damping은 무시

또한 Force equilibrium, moment equilibruim을 기반으로 Euler-Bernoulli 보 이론을 사용한 방정식이다.

(b)는 (a) 식에 tensile force T를 푼 것으로 T’ = mu’‘-mO(r+u)-f를 대입한 것이다. 이는 non-rotationg beam eq.에 nonlinear coupling이 고려되었따.

©는 axial dynamics를 무시하지만 회전에 의한 centrifugal effect를 포함하고 있는 식이다.

(d)는 2nd order nonlinear eq.으로 큰 변형에 유리하며 elongation-flap bending coupling에 대한 고려가 포함되어 있다. (b)의 식과 flap eq.이 같지만 axial dynamics가 (b)에 비해 포함되어 있다는 점에서 다르다.

2. Rotating flexible rotor는 공기력에 의한 변수가 있으므로 진공상태에서의 nat. vibration characteristics가 중요하다.

이것은 PDE에서 homogeneous 해에서 얻을 수 없는 ODE이며 approx. solution method를 사용하여 풀게 된다.

approx solution method는 크게 두가지로 나뉘며 이는 weighted residual method, variation method이고, 첫 번째가 Galerkin’s, 두 번째가 Rayleigh-Ritz method이다.

Galerikin’s method는 govering PDE를 ODE로 변환시켜 풀이하며 deflection을 여러 assumed function의 합으로 나타내어 B.C.를 만족시킨다. 근사식에 의하여 발생하는 residual은 weighted residual method를 사용하여 최적화시킨다.

그에 비해 Rayleigh Ritz method는 PVW, PCVW를 이용하여 deflection을 여러개의 function의 합으로 가정하여 이때 geometric B.C.를 만족시키도록 한다. 이 deflection을 사용하여 K.E., P.E., V.W.를 계산하고 Euler-Lagrange eq.에 대입하여 ODE를 구한다.

FEM의 해석대상을 여러개의 discretize된 element로 분해하고 이를 Galerkin, Rayleigh-Ritz등 여러 해석 기법을 사용하여 해석을 진행한다.

3. Lock number

[eqn: gamma`=`rho {acR ^{4}} over {I _{h}}]

flap eq

[eqn: {ddot{beta }} `+`2( xi v _{beta } ) {dot{beta }} +v _{beta }^{2} beta `=` gamma {bar{M _{beta }}} + {w _{beta 0}^{2}} over {OMEGA } beta]

여기서

[eqn: gamma {bar{M _{beta}}}] : 양력에 의한 회전력

[eqn: {bar{M _{beta }}}] : Aerodynamic flap moment의 무차원수

[eqn: gamma] : 힌지 중심의 회전관성의 역수를 무차원화

Lock number가 같다면 무차원식이기 때문에 물리적 특성이 같고 wind tunnel model과 full scale의 물리적 특성이 같다.

또한 Lock number는 aerodynamic damping과 coupling characteristics를 유지하는 parameter이다.

4. Fourier coordinate transformation을 이용하면

flap eq :

[eqn: {ddot{beta }} `+`( {gamma } over {8} + mu {gamma } over {6} sin( psi )) {dot{beta }} +# ( gamma _{beta }^{2} + mu {gamma } over {6} cos( psi )+ mu ^{2} {gamma } over {8} sin(2 psi )) beta `=` gamma theta _{0} ( {1} over {8} + {mu } over {3} sin( psi )+ {mu ^{2}} over {4} sin ^{2} ( psi ))- gamma lambda ( {1} over {6} + {mu } over {4} sin( psi ))]

여기서 [eqn: mu],[eqn: mu ^{2}]는 모두 sin, cos term과 연관되어 있고, fixed coord.에서 이를 그리면 [eqn: mu]는 상수가 되고 sin, cos와 모두 무관하다. 그에 비해 [eqn: mu ^{2}]는 sin cos term의 harmonics로 표현된다. 이를 통해 fixed coordinate 식에서 상수 값들은 forward flight 효과를 유지하고 이를 공탄성적 안정성 계산에 사용할 수 있다.