Subcooled Boiling에서의

Bubble Detachment Diameter와 Mean Bubble Diameter에 관한 문헌 조사

SNU - Nuthel 김성진

1. Introduction

그 동안 국내외의 비등 유동장 해석에 관련된 많은 연구가 진행되어 왔다. 그러나 RELAB5와 같이 일차원적 접근 방식을 취하고 있는 현재 대부분의 상황에서 비등 유동의 비등 및 응축 열전달 현상을 비롯한 제반 이상 유동 현상에 관련된 상세한 물리적 메커니즘을 모사하기 위해서는 아직도 많은 연구가 요구되며  진행되고 있는 실정이다. 이에 삼차원적 접근을 할 수 있는 CFX나 MARS를 통한 해석으로 모사를 하게 되는데 이 때 필요한 미포화 비등 유동에서의 2 유체 모델링에 기포크기가 주는 영향이 매우 큼에도 불구하고 그에 대한 연구 및 실험 결과가 한정되어 있다. Abdelmessih et al.(1972)과 Bibeau & Salcudean(1994)은 미포화 비등에서 기포의 성장과 붕괴 과정을 실험적으로 관찰하였다. Unal(1976)은 기포 이탈 최대 크기에 관한 이론적 유도를 하였지만 기포 크기의 상한치에 대한 모델은 전체 유동장에서 계면 전달항을 산정하는데는 직접 적용할 수 없다. Delvalle & Kenning(1985)과 Tolubinsky & Kostanchuk(1970)은 실험을 통해 기포 크기는 가열 벽면으로부터의 열속에 크게 의존하지 않고, 액체의 미포화도에만 의존한다고 보고하고 있으나, 유량의 효과가 고려되지 않았다. 또한 Tolubinsky & Kostanchuk(1970)의 실험 결과는 미포화도가 작을 경우 기포 크기는 미포화도에 따라 거의 선형적으로 변한다는 사실을 나타내고 있다. 최근, Zeitoun & Shoukri(1996)는 낮은 유량, 낮은 압력의 미포화 비등 유동장에서 디지털 영상 처리기법을 이용해 기포의 거동과 평균 기포 크기를 실험적으로 관찰하였으며, 이를 토대로 미포화도, 열속 및 질량 유량의 효과를 고려하여 평균 기포 크기에 대한 실험 상관식을 제시하였다. Victor V. Yagov(1999)는 난류 유동장에서 크기가가 작고 거의 원형에 가까운 기포로 표면장력과 부력을 무시하고 기포내의 압력장이 기포성장과 주 유동의 속도에 의해 영향을 받는다는 가정으로 이론식을 세웠다. 이러한 모델식을 이용한 해석코드의 해석결과와 실험 결과와의 비교에서 미포화 유동에 대한 정확한 유동장의 다차원적 해석을 위해서는 기포크기 및 계면 전달항에 대한 적절한 모델의 선정이 수반되어야 함을 알 수 있다.

2. Bubble Behavior in Subcooled Flow Boiling

2.1 Review

bubble은 solid surface에서의 소량의 gas를 포함하는 cavity나 crack에서 성장하기 시작한다. nucleate pool boiling에서의 nucleation process는 Hsu(1962)과 Cole(1979)에 의해 잘 설명되어 있다. 이에 관련된 많은 이론은 bubble이 성장하는 과정을 microlayer evaporation으로 설명을 하고 있다. 이러한 microlayer theory는 Cooper and Lloyd(1969), Van Stralen et al.(1975) 그리고 Zijl et al.(1979) 등에 의해 잘 정립되어 있다. 여기에서의 microlayer의 두께는 Voutsinos and Judd(1975)과 Koffman and Plesset(1983)에 의해 측정되었다. 한편, 다른 bubble growth mechanism으로는 Mikic and Rohsenow(1969)에 의한 빠른 온도 변화를 만들어 내는 liquid와 bubble의 interface에서의 evaporation이 bubble의 빠른 성장률에 기인한다고 했다.

bubble dynamic의 연구에는 horizontal flow boiling에서 bubble departure를 연구한 Koumoutses et al.(1968) 과 Zeng et al.(1993), vertical upward flow boiling에서 bubble dynamicsdlm 실험적 연구를 한 Gunter(1951), Abdelmessih et al.(1972), Akiyama and Tachibana(1974), Cooper et al.(1983) , Bibeau(1993)등이 있다. 또한, Unal(1975)과 Meister(1979)는 subcooled boiling에서 bubble growth와 bubble collapes를 이론적으로 연구한 바 있다. 그들의 분석에서 bubble은 heating surface로부터 total condensation period 동안 계속적으로 열을 받고 있다. 즉, 벽면에서 bubble로의 heat transfer는 bubble이 heating surface의 normal 방향으로 departure 되자마자 멈추게 된다. bubble 성장 과정동안 bubble에 작용하는 힘에 따라서 departure될 때의 크기를 결정하게 된다. detachment된 후 bubble은 부력으로 인해 수직방향으로 이동하게 되는데, normal detachment가 바로 subcooled 혹은 saturated boiling regime에서 evaporation의 끝의 표시가 되기도 한다. 따라서 이 point에서의 조건이 bubble growth, waiting times, 그리고 결과적으로 bubble frequency를 결정하는 중요한 parameters가 된다.

flow boiling에서 두 type의 detachment가 있다. 다시 말해 heating surface로부터 bubble이 성장할 때, 어떤 size에 도달한 다음 heating surface를 따라 미끄러지기 시작하는 것과 bubble이 surface를 떠날 때까지 계속 성장하는 두 가지의 경우가 있다. 첫 번째 type을 detachment 혹은 parallel detachment (Bibeau, 1993) 그리고, 두 번째 type을 bubble ejection(Dix, 1970 and Serizawa, 1979), normal detachment(Bibeau, 1993) 혹은 lift off(Zeng et al, 1993)으로 부른다. Coopee et al. (1983)에 의하면 vertical upward flow에 대해 heating surface 근처의 mirage 때문에 parallel detachment를 결정짓기가 어렵다. Bibeau(1993)에 의하여 parallen detachment는 nucleationgn 초기에 이르게 나타나는 것으로 나타났고 heating surface를 따라 미끄러지는 동안에도 어떤 maximum size 도달할 때까지 계속 성장하다가 후에 condensation rate이 evaporation rate를 넘어서면서 bubble size가 작아지는 것을 보였다. 즉, heating surface를 따라 bubble이 condensation 되는 동안 nomal detachment가 일어나며, bubble이 subcooled bulk를 통해 이동하면서 완전히 collapse된다. 이 normal detachment가 subcooled flow boiling에서 evaporation process의 마지막 단계를 결정짓는 중요한 현상이라 할 수 있다.

bubble은 bubbe에 작용하는 힘들에 의해서 두 방향으로 detachment 되는데 이러한 힘들은 Beer(1973) and Zeng et al.(1993a)에 의해서 pool boiling에서, horizontal surface를 따르는 forced flow boiling에서는 Koumoutses(1968) and Zeng et al.(1993b)에 의해서 공식화 되었다. upward flow boiling에서 axial 방향으로 작용하는 힘은 drag, buoyancy, weight, surface tension 그리고 inertia of the surrounding liquid 이며 normal 방향으로 작용하는 힘은 excess pressure force, cappillay pressure force, drag and inertia of surrounding liquid 등이다. 그러나 normal detachment의 원인에 대해서는 연구자별로 다른데, Serizawa(1979)는 bubbly layer를 형성하는 thermo-capillarity action(surface tension)을 제시하는데, 이 layer에서의 bubble instability가 bubble normal ejection의 원인이 된다고 밝히고 있다. 반대로 Bibeau(1993)은 heating surface 근처의 temperature gradient로 인해 생기는 surface tension의 gradient가 normal detachment의 원인으로 밝히고 있다.

여기에서 bubble detachment는 bubble growth-collapse process와 별개의 것으로 연구할 수가 없다. 많은 이들이 inertia force를 계산하기 위해 asymptotic bubble growth relation([eqn: D_b = C r^{ 1 over 2}]) ; Beer(1973) and Zeng et al.(1993a) 이들이 제시한 model이 bubble detachment에서의 diameter를 비교적 잘 예상하고 있지만, 실제 bubble detachment time을 예측하지는 못한다.

2.2 Bubble Detachment Diameter

interfacial transport of mass, momentum 그리고 heat energy를 측정하기 위한 parameter들 중의 하나가 bubble size 혹은 interfacial area concentration이다. 하지만, 이러한 중요한 parameter임에도 불구하고 mean bubble diameter 측정에 관한 연구는 그리 많지 않다. Gunther(1951), Abdelmesshi et al.(1972) 그리고 Bibeau(1993)은 subcooled flow boiling에서의 bubble growth-collapse history를 Unal(1976) 과 Meister(1978)는 역시 subcooled flow boiling에서의 bubble growth-collapse를 이론적으로 연구 보고한 바 있다. Unal(1976)은 attached hemispherical bubble의 growth와 collapse를 분석하였다. 여기에서 bubble은 bubble base 아래에서의 microlayer의 evaporation과  curved surface에서의 condensation에 의해 성장을 하는 것으로 말하고 있다. interface에서의 condensation은 Levenspiel's model을 사용하였다. 이와 같은 분석을 통해 다음과 같은 bubble detachment diameter로 생각할 수 있는 maximum bubble diameter를 얻었다.

[eqn: D_max = {2.42 times 10^-5 P^0.709 (q - h_sp(T_s - T_l ))^1/3 k Yu } over {2 Cu^1/3 rho_g h_fg (pi a)^1/2 (b_u Phi_u )^1/2 }]

여기에서,

[eqn: Y_yu = root {{k_s rho_s C_ps} over {k rho_l C_p}}]

[eqn: C_u = {h_fg mu ( C_p /0.013 h_fg Pr^1.7 )^3} over {(sigma /g triangle rho)^1/2}]

[eqn: b_u = {(T_s - T_l )} over {2(1- rho_g /rho_l )}]

[eqn: Phi_u = (U_l / 0.61)^0.47]  for [eqn: U_l > 0.61 m/s]

[eqn: Phi_u =1]             for [eqn: U_l <= 0.61]

여기에서 [eqn: k_s , rho_s , C_ps]는 thermal conductivity, density 그리고 specific heat of heater material이다. 이 equation은 Bibeau(1993) 등에 의한 pressure의 증가에 따른 maximum bubble diameter의 net decrease를 정확히 보여주고 있다.

bubble departure diameter에 대하여 Unal은 이상에서 주어진 equation을 사용하기를 권장하나 Bibeau(1993)의 high speed photographic 결과 bubble이 maximum diameter일 때가 아니라 maximum diameter에 도달한 후에 bubble departure가 일어나는 것으로 나타났다.

Serizawa(1979)은 bubble detachment diameter에 대한 다음과 같은 empirical relationship을 보였다.

[eqn: D_d = Psi_s exp [ - k_1 (T_s - T_l ) - k_2 q ]]

여기에서 [eqn: k_1 ,k_2 Psi_s]는 mass flux, heat flux, test section geometry와 fluid properties들의 empirical function이다

Bibeau(1993)은 Farajisarir(1993)의 분석자료로부터 다음의 correlation을 얻었다.

[eqn: {D_max sigma } over {rho_l a^2 } = 10.02 times 10^9 Ja_w^-1.65 left [ {T_w - T_l} over {T_w - T_s } right ]^-1.65]

여기에서 [eqn: a]는 water thermal diffusivity이고 [eqn: Ja_w]는 heating surface superheat에 근거한 Jakob number이다. 이 correlation은 maximum bubble diameter가 [eqn: (T_w - T_l )^-1.65]에 비례함을 잘 보여주고 있다. 사실 이 parameter는 wall superheat와 bulk subcooling의 효과를 포함하고 있다.

J.F.Klausner(1992)에 의해 bubble departure diameter에 대한 PDF function이 G(112, 287kg/m2s) 그리고 heat flux(11.0, 26.0 kW/m2)에 대하여 얻었다. 즉, bubble departure에 대한 flow condition을 알아보기 위하여 bubble에 작용하는 여러 가지 힘을 다음과 같이 나타내었다.

[eqn: sum F_x = F_sx + F_qs + F_dux]

[eqn: sum F_y = F_sy + F_duy + F_sL + F_b + F_h + F_cp]

여기에서

[eqn: F_s] : surface tension force

[eqn: F_qs] : quasi-steady drag in the flow direction

[eqn: F_du] : unsteady drag due to asymmetrical growth of the bubble and the dynamic effect of the unsteady liquid flow such as the history force

[eqn: F_b] : buoyancy force

[eqn: F_h] : the force due to the hydrodynamic pressure

[eqn: F_cp] : the contact pressure force accounting for the fact that the bubble is in contact with a solid wall rather than being completely surrounded by liquid

한편, turbulence와 wave motion에 의한 dynamic effect는 고려하지 않았다.

vapor bubble이 nucleation site에 attached된 상태를 유지하는 경우에는 [eqn: sum F_x = sum F_y =0]를 만족시킨다. 한편  typical bubble에 대한 예비계산([eqn: sum F_x = 1.0 times 10^-9 N >0],[eqn: sum F_y = - 1.7 times 10^-6 N <0] )으로부터 vapor bubble의 lift-off 전에 heat surface를 따라 slide함을 알 수 있다. 결과로부터 bubble은 wall surface를 lift-off하기전에 일정거리를 sliding하며, G가 증가할수록 bubble size에 대한 pdfs가 왼쪽으로 heat flux가 증가할수록 오른쪽으로 편항시킴을 즉, G에 대하여 bubble size가 감소하고 heat flux가 증가함에 따라 bubble size도 증가함을 보여준다. 또한, mean bubble diameter와 더불어 mean liquid velocity와 mean wall super heat 중요한 요소가 됨을 알 수 있다.

또한, wall superheat의 statistical variation이 Gaussian distribution을 따른다는 가정하에서 depature bubble diameter의 pdfs를 다음과 같이 얻어내었다.

[eqn: P_triangleT (triangleT) = 1 over {root {2pisigma_triangleT}} e^{-1/ 2[(triangleT - triangleT_m ) sigma_triangleT ]^2}]

또한, liquid velocity 항으로 다음과 같이 나타내었다.

[eqn: P_triangleT (triangleT) = 1 over {root {2pisigma_u}} e^{-1/ 2[(u - u_m ) sigma_triangleT ]^2}]

여기에서

[eqn: triangle T_m] : mean wall superheat

[eqn: sigma_{triangle T}] : the standard deviation of wall superheat

[eqn: u_m] : mean liquid velocity

[eqn: sigma_u] : the standard deviation of the liquid velocity

결과적으로 boiling system에서의 vapor bubble detachment의 stochastic feature를 가짐을 알 수 있다.

W.G.J.Van Helden(1995)는 microgravity하에서 bubble growth는 단지 Ja수와 liquid thermal diffusivity에 의존하며 viscosity와 surface tension은 무시할 만하고 wall heatflux 의 증가 혹은 liquid mass flux의 감소는 mean detachment diameter의 증가를 가져오는 것으로부터 detachment radius를 bulk liquid speed에 대한 exponential 함수로 제시하였는데 다음과 같다.

[eqn: R_d = E_1 exp(-E_2 cdot V_bluk )]

여기에서 [eqn: E_1]은 liquid speedrk 0일 때의 detachment radius이고, [eqn: E_2]는 실험 상수이다.

2.3 Mean Bubble Diameter Measurements

Average bubble surface area and volume 이 다음과 같을때

[eqn: A_b = 1 over n_b sum from j=1 to n_b a_b_j]

[eqn: V_b = 1 over n_b sum from j=1 to n_b v_b_j]

mean Sauter bubble diameter는 [eqn: D_s = {6.0 V_b } over A_b] 으로 주어진다.(한편, 여기에서 [eqn: n_b]는 측정된 bubble의 수이다. )

한편, Serizawa(1979)는 detachment에서 bubble size에 관한 correlation을 Unal(1976)과 Farajisarir(1993)은 bubble diameter의 상한 값을 보여주는 maximum bubble diameter에 관한 correlation을 보여준 바 있다. 이들에서 보면 maximum bubble size에 관한 Unal's model은 측정된 bubble diameter보다 작은 값으로 나타나 있다. 그러나 heating section을 따르는 maximum bubble size의 경향은 측정된 mean bubble diameter값과 어느 정도 유사함을 알 수 있다. Farajisarir(1993)에 의한 maximum bubble size는 대부분 측정된 mean bubble diameter 보다 큰 경향을 보여주는데 이는 Farajisarir□s correlation이 2mm 정도의 작은 bubble에 대해 이루어진 것이기 때문이다.

Zeitoun(1994)은 IAC를

[eqn: a_i = 3.24 alpha^0.757 (g triangle rho / sigma)^0.55( mu/G)^0.1]

로 상관식화하였고 이것으로부터

[eqn: D_s = 1.85 alpha^0.243 left( sigma over {g triangle rho} right ) ^0.55 left ( G over mu right) ^0.1]

을 얻었다. 이후, subcooling effect를 고려(Ja)하여 다음과 같은 상관식을 얻었다.

[eqn: D_s over {root {sigma /g triangle rho} } = {0.0683 (rho_l / rho_g )^1.326 } over {Re^0.324 { left [ Ja + {149.2 (rho_l / rho_g )^1.326 }over {Bo^0.487 Re^1.6} } right ] }]

여기에서 [eqn: Bo = dot{ q ''} over {G h_fg}] ,[eqn: Re = GD_h over mu_l], [eqn: Ja = { rho_l C_pl (T_sat - T_l )} over {rho_g h_fg}]

Anglart & Nylund Correlation (1996)는 bubble size가 liquid의 subcooling에 비례한다는 가정하에 다음과 같은 상관식을 제안하였다.

[eqn: d = {(d_1 - d_0 )} over {(T_1 - T_0 )} T_"sub" + {(d_0 T_1 - d_1 T_0 )} over {(T_1 - T_0 )}]

한편, J.Y.Tu(1999)에 의하면  mean bubble diameter에 대한 Anglart and Nylund's linear formula와 Zeitoun and Shoukri에 의한 실험 상관식을 이용하여 채널의 길이에 따른 bubble size와 void fraction을 비교한 결과 후자의 경우가 잘 맞았다. 또한, bubble diameter에 대한 heat flux와 mass flux의 영향을 살펴본 결과 heat flux가 증가할수록 bubble growth 과정에서의 driving force의 증가로 인한 bubble size의 증가를 알 수 있었다. mass flux에 대해서는 높은 Ja수에 대해서는 mass flux가 증가할수록 bubble size는 작아지고 반대로 낮은 Ja수에 대해서는 bubble size는 mass flux와 함께 증가하는 경향을 보인다. 이는 Ja수가 감소할수록 subcooling이 작아지기 때문으로 bubble size의 subcooling 효과를 잘 보여주고 있다.여기에서 사용된 local subcooling은 다음과 같다.

[eqn: T_"sub" = T_"sub" ^"in" - {q P _h z} over {A_f G C_pl}]

적용된 모델에 따른 기포 크기 분포를 살펴보면 다음과 같다.

적용된 모델에 따른 기포크기 분포 : 낮은 질량 유량

적용된 모델에 따른 기포크기 분포 : 높은 질량 유량

측정된 기포 크기는 기포 경계층에서 중앙을 향해 진행하며 기포의 합체에 의해 크기가 증가하다가 과냉 액상 영역에서 기포의 응축에 의해 크기가 감소하는 분포 형태를 보이고 있다. 그러나 계산된  기포 크기는 거의 일정하거나 가열면을 향해 진행하면서 액상 온도 증가에 의해 크기가 증가하는 경향을 보이고 있다. 이는 이들 모델이 액상의 미포화도에 따른 기포 크기 변화는 고려하고 있으나 기포의 합체에 의한 기포 크기 증가는 고려하지 못한데 기인한다. 특히, Zeitoun & Shoukri 모델은 본 연구에서 수행된 실험에서와 같이 환형 유로에서의 미포화 비등 조건에서 산출된 실험 자료를 이용하여 개발되었으나 기포 크기를 매우 크게 예측하고 있다. 또한, 기포 속도는 가열면으로부터 중앙 영역으로의 기포 크기 증가로 인한 부력 효과에 따른 속도 증가를 예측할 수 있으나, 이들 모델에 의해 계산된 기포 속도가 가열면으로 진행하면서 증가하는 주요한 원인 중의 하나는 중앙으로부터 가열면으로의 기포 크기 증가에 기인하는 것으로 판단된다.

3. Mean Bubble Diameter Modelling

이상의 연구 결과들로부터 mean bubble diameter [eqn: D_b]은 local subcooling과 mass flux에 의한 영향이 가장 큼을 알 수 있다. 또한, 제시된 mean bubble diameter들은 channel 내에서의 time 및 mass averaged된 값으로 2차원적 값만을 알 수 있다.

한편, channel 내의 bubble들은 wall surface로부터 생성된 것이므로 channel내에서의 bubble 행동 양식에 bubble detachment가 영향을 줄 것으로 생각된다. 즉, channel내에서의 bubble이 bubblerks의 혹은 bubble과 wall과의 충돌 등에 의한 coelacence 및 breaking을 통계적인 것으로만 이해할 수 없다. 그러나 기존의 mean bubble diameter에 관한 상관식은 bubble의 detachment로부터의 history를 고려하지 않았다. 따라서, 앞으로 제시될 mean bubble diameter의 modelling은 bubble의 history를 고려하여 mean bubble diameter에 주는 영향을 살펴보도록 한다.

결국, mean bubble diameter는 다음과 같은 형태를 가지게 된다.

[eqn: D_b (r,z) = D_b (triangleT_sat, ,G,u_l )]

여기에서,[eqn: triangle T_sat = triangle T_sat (r,z)], [eqn: u_l = u_l (r,z)]

이 때, [eqn: D_b (r,z)]는 position [eqn: (r,z)]에서 예를 들면 Gaussian distrubution과 같은 분포를 가지는 것으로 가정하여 얻게되는 position에 대한 average 값이 될 것이다. 이 때의 분포함수는 local subcooling과 bubble detachment에 의한 함수이다.

참고 문헌

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N. Zuber, J.A. Findlay, Average Volumetric concentration two-phase flow system, 1965, J. Heat transfer, pp. 453-468

N. Koumoustsos et al. A study of bubble departure in foreced-convection boiling, J. Heat Tranfer, 1968, 223-230

M.S. Plesset and S.A. Zwick, The growth of vapor bubble in superheated liquids, J. Applied Physics, Vol.25, pp. 493-500

D.D. Wittke and B.T. Chao, Collapse of vapor bubble with translatory motion, J. Heat Transfer, 1967, pp. 17-24

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O. Zeitoun et al., Interfacial heat transfer between steam bubbles and subcooled water in vertical upward flow, T. of ASME, Vol.117, pp.402-407

A.D. Okhotsimskii, The thermal regime of vapor bubble collapse at different Jacob numbers, Int. J. Heat Transfer, Vol.31, pp.1569-1576

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P.S. Larsen and L.S. Tong, Void fraction in subcolled flow boiling, J. Heat Transfer, 1969, pp.471-476

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W.G.J.Van Helden, C.W.M.Van Der Geld and P.G.M.Boot, "Forces on Bubbles Growing in Flow along a Vertical Wall", Int.J.Heat Mass Transfer, Vol.38, No.11, pp.2075-2088, 1995

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부 록

Bubble Condensation Model

	Bubble History	Condensation Nusselt Number
Zuber(1961)	[eqn: beta = ( tau / tau_m )^1/2 (2 - ( tau / tau_m )^1/2 )]	-------------------------
Florschuetz & Chao(1965)	a - [eqn: beta ^2 + 2 /beta - 3 = 48/pi Ja^2 Fo_0] b - [eqn: beta = 1 - ( 16/pi Ja^2 Fo_0 )^1/2]	[eqn: Nu_c = 12 / pi Ja beta^3 /(1- beta^3 )] [eqn: Nu_c = 4 / pi Ja beta /(1- beta )]
Levenspiel(1959)	[eqn: beta = exp(-3.933(T_s - T_f ) tau )]	[eqn: Nu_c = 1.966 D_b^2 h_fg rho_g /k]
Ruckenstein(1959)	---------------------------	[eqn: Nu_c = root {4/pi} (Re_b Pr)^1/2]
Hewitt & Parker	[eqn: beta = 1 - (root 4pi/3 Ja^2 Fo_0 / beta^3 (1.3 D_b (T_s - T_f ))^3/2 )^1/2]	[eqn: Nu_c = {4pi (1.3 B_b / (T_s - T_f ) )^3/2 beta^1/2} over {(beta ^1/4 - beta^5/4 ) (beta ^1/4 - 5 beta ^5/4 ) }]
Isenberg & Sideman(1970)	[eqn: beta = ( 1 - 3 / root pi Ja Re_bo^1/2 Pr^1/3 F0_0 )^2/3]	[eqn: Nu_C = 1 / root pi Re_b^1/2 Pr ^1/3]
Akiyama(1973)	[eqn: beta = (1 - 2.8 times 0.37 Re_bo^1/2 Pr^1/3 Ja Fo_0 )^1/1.4]	[eqn: Nu_c = 0.37 Re_b^0.6 Pr^1/3]
Dimic(1973)	[eqn: beta = (1 - 6/ root pi Ja Re_bo Pr F0_0 ) ^2/3]	[eqn: Nu_c =2 / root pi Re_b Pr beta^-1/2]
TRAC-PIA as in : Kelly & Kazimi (1982)	----------------------------	[eqn: Max.( Nu_c =12/pi Ja , Nu_c = 2 +0.74 Re_b^1/2 )]
Simpson et al.(1986)	[eqn: beta = ( 1 - 4.35 Ja^1.1 Pe_bo^0.55 Fo_0 ^1.11 )^2/3]	-------------------------
MINI-TRAC as in Hori & Toda(1991)	----------------------------	[eqn: Nu_c =0.02 Re_b Pr]
Chen & Mayinger(1992)	[eqn: beta = (1 - 0.56 Re_bo^0.7 Pr^0.5 Ja Fo_0 )^0.9]	[eqn: Nu_c = 0.6 Re_b^0.6 Pr^1/2 beta ^0.4] (before detachment) [eqn: Nu_c = 0.185 Re_b^0.7 Pr^1/2 beta ^0.3] (after detachment)