□ 미포화 비등 유동장 해석(CFX)

(1) Introduction of CFX code

- 3 dimensional two-fluid model

(2) Governing equations

mass

[eqn: {partial (alpha_k rho_k )} over {partial t} ~+~ TRIANGLED cdot (alpha_k rho_k boldU_k ) ~=~ SUM from { k } ~( DOT m_{k i} ~-~ DOT m_{ i k })]               (1)

momentum

[eqn: {partial (alpha_k rho_k boldU_k )} over {partial t} ~+~ TRIANGLED cdot (alpha_k rho_k boldU_k BIGOTIMES boldU_k ) ~=~]

[eqn: -alpha_k TRIANGLED p_k ~+~ TRIANGLED cdot (alpha_k mu_k ( TRIANGLED boldU_k + (TRIANGLED boldU_k )^T )) ~+~ alpha_k rho_k boldg ~+~ SUM from { k } ~M_ik]   (2)

energy

[eqn: {partial (alpha_k rho_k H_k )} over {partial t} + TRIANGLED cdot (alpha_k (rho_k boldU_k H_k - k_k TRIANGLED T_k )) ~=]

[eqn: SUM from { i=1 } to {2} ~C_{k i}(T_i - T_k ) +SUM from { k } ~( DOT m_{k i} H_i ~-~ DOT m_{ i k }H_k )]            (3)

⇒ 10 equations and 16 unknowns([eqn: rho_k , ~U_k , ~V_k , ~W_k , ~p_k , ~alpha_k , ~T_k ,~ H_k ,]                                        [eqn: k =l, g] )

Thus,

[eqn: rho_k ~=~ rho_k (T_k , p_k )]                      (4)

[eqn: H_k ~=~ rho_k (T_k , p_k )]                      (5)

[eqn: SUM from { k } ~alpha_k ~=~ 1]                           (6)

[eqn: p_l ~=~ p_g ~=~ p]                        (7)

And to achieve the closed form, the turbulence and interfacial transport      terms are properly provided.

(3) Interfacial transport terms

- two-fluid model 해석은 상 계면에서의 물질 및 에너지 거동모사에 크게

의존

1) momentum interfacial transport

[eqn: ~M_ik ~=~ { M}`_{ik } ^{D } ~+~ { M}`_{ik } ^{L } ~+~ { M}`_{ik } ^{VM } ~+~ { M}`_{ik } ^{TD } ~+~ { M}`_{ik } ^{W }]              (8)

① MD ; drag force

[eqn: { M}`_{ g} ^{D } ~=~ - 3 over 4 C_D over d alpha ~rho_l vert boldU_g -boldU_l vert ( boldU_g -boldU_l )]                   (9)

o For small void fraction (dilute fluid particle)

1) viscous regime ; small vapor Re

- inertial effect 보다 viscous effect 가 더 중요

Schiller Naumann drag model

[eqn: C_D ~=~ 24 over Re (1+0.15 Re^0.687 )]                              (10)

2) inertial or distorted particle regime

- surface tension effect 가 중요

- For spherical cap regime,

a) Ishii-Zuber drag model

Eotvos #  [eqn: {g△ rho dp^2} over σ]

; (ratio between gravitational and surface tension force)

[eqn: C_D ~=~ { 2 } over { 3 } E_{ o } ^{ 1/2 } ~=~ 2 over 3 SQRT {{g TRIANGLE rho d^2} over sigma } ~:~ Ishii ~and~ Zuber]    (11)

b) Grace drag model

[eqn: C_D ~=~ 4 over 3 {g ~d } over { {U }`_{t } ^{2 } } { TRIANGLE rho } over rho_l ~:~ Grace~ et~ al.]                  (12)

where  Ut ; bubble terminal velocity

o For highl void fraction (dense fluid particle)

기포율이 커서 기포운동이 주위 기포에 의해 영향을 크게 받을 경우 인접          기포에 의한 저항력 증가를 고려하여야 한다.

1) Ishii-Zuber drag model

a) viscous regime

- modified S-N correlation using mixture Re based on mixture

viscosity

[eqn: rm C_D (sphere) ~=~ 24 over Re_m (1+0.15 Re_m^0.687 )]                (13)

where     [eqn: Re~=~ {rho_l vert boldU_g -boldU_l vert d } over {mu_m}]

and  [eqn: mu_m over mu_l ~=~ (1 - alpha )^{-2.5 mu_*}]   ,     ; mixture viscosity

[eqn: mu_* ~=~ {mu_g ~+~ 0.4 ~mu_l } over {mu_g ~+~ mu_l }]

b) dense distorted particle regime

- modify the single particel drag coefficient with multiplying

factor

[eqn: rm C_D (el lipse) ~=~ E(r_d ) C_D∞ ~, ~~~~~C_D∞ ~=~{ 2 } over { 3 } E_{ o } ^{ 1/2 }]

2) Grace drag model

- modify using a simple power law correlation

[eqn: rm C_D ~=~ r_c^p C_D∞ ~]

where   [eqn: rm C_D∞ ~]; single bubble Grace drag coefficient given in

Eq. (12)

그림 1  항력 계수에 대한 dense particle 효과가 기포율 및 기포속도 분포에 미치는 영향

② virtual mass force

[eqn: { M}`_{ g} ^{VM } ~=~ - C_VM~ alpha ~rho_l ( {D_g boldU_g} over {Dt} -{D_l boldU_l} over {Dt} )]             (14)

[eqn: C_VM~ =~ 0.5]

③ lift force

; 벽면을 향해 기포를 이동시키는 역할을 하는 힘으로 물/공기 이상 유동            과 같은 단열 이상 유동에서 발생하는 기포의 wall peaking을 설명하는            중요한 힘

[eqn: { M}`_{ g} ^{L } ~=~ - C_L ~ alpha ~rho_l ( boldU_g -boldU_l ) TIMES TRIANGLED TIMES boldU_l]               (15)

[eqn: C_L ~ =~0.03 SIM 0.2]

- 양력계수가 증가하면 국부기포율 감소

④ wall lubrication force

[eqn: { M}`_{ g} ^{W } ~=~ {alpha ~rho_l ( boldU_g - boldU_l )^2 } over d ~max(C_1 + C_2 d over y_w ) boldn]         (16)

[eqn: C_1 ~=~ -0.01]

[eqn: C_2 ~=~ 0.05]

⑤ turbulence dispersion force

[eqn: { M}`_{ g} ^{TD } ~=~-C_TD~ rho_l~ k_l ~TRIANGLED alpha]                   (17)

[eqn: C_TD ~=~ 0.1]

2) energy and mass interfacial transport

- energy interfacial transport ∝ IAC x IHTC

o IAC (Interfacial Area Concentration)

[eqn: IAC ~=~ {6 ~alpha} over D_s]

o IHTC (Interfacial Heat Transfer Coefficient)

- By Ranz and Marshall(1952)

[eqn: h ~=~ {k_l over d} (2 ~+~ 0.6~Re^0.5 Pr^0.3 )]            (18)

- By Hughmark(1967)

[eqn: h ~=~ {k_l over d} (2 ~+~ 0.6~Re^0.5 Pr^0.33 ), ~0 <=Re <= 776.06, ~ 0 <= Pr <= 250]     (19)

[eqn: =~{k_l over d} (2 ~+~ 0.27~Re^0.62 Pr^0.33 ), ~776.06 <= Re, ~ 0 <= Pr <= 250]

o mass interfacial transport

그림 15  기포 크기가 기포율           분포에 미치는 영향

- for condensation,

[eqn: dot m ~=~ max left ( {h (T_sat - T_l ) ~a_i } over h_fg , 0 right )]

- for evaporation,

[eqn: dot m ~=~ max left ( {h (T_l - T_sat )~ a_i } over h_fg , 0 right)]

3) bubble diameter model

- IAC 는 기포크기에 의존하고 기포계수도 마찬가지이므로 기포크기의 정확          한  예측은 미포화 유동장해석에 매우 중요

o Zeitoun & Shoukri(1996)

- 수직 환형유로에서 미포화 비등시 평균기포 크기를 유량, 미포화도 및 열          속을  고려하여 다음과 같이 상관식화 하였다.

[eqn: D_s ~=~ SQRT{ sigma over {g TRIANGLE rho } } {0.0683~ (rho_l / rho_g )^1.326 } over {Re^0.324 LEFT ( Ja ~+~ {149.2 (rho_l / rho_g )^1.326 } over {Bo^0.487~ Re^1.6 } RIGHT ) }]

여기서    [eqn: D_s] ; Sauter 직경

[eqn: Bo ~=~ q''/ { G~ h_fg }]

[eqn: Re ~=~ G ~ D_h ~/~ mu_l]

[eqn: Ja~=~ rho_l~ C_pl~ (T_sat -T_l )~/~ rho_g~ h_fg]

o Anglart & Nylund(1996)

- 기포 크기가 액상의 국소 미포화도에 비례한다고 가정

[eqn: d ~=~ {(d_1 - d_0 )} over {(T_1 - T_0 )}T_"sub" + {(d_0 T_1 - d_1 T_0 ) } over {(T_1 - T_0 ) }]                 (20)

여기서 [eqn: d_o] 와 [eqn: d_1]는 액상의 국소 미포화도 [eqn: T_o] and [eqn: T_1]에서의 기포 크기

(4) Subcooled boiling model

1) heat flux partitioning model by Kurul and Podowski (1991)

- 미포화 비등시 가열 벽면에서의 기포 생성 및 응축에 관련된 열전달 현상          모사

[eqn: { q}`_{w } ^{'' } ~=~ { q}`_{f } ^{'' } ~+~ { q}`_{e } ^{'' } ~+~ { q}`_{Q } ^{'' }]                      (21)

①[eqn: { q}`_{f } ^{'' }] (convective heat flux) ; nucleation site으로부터 떨어진 액상으                                          로의 대류 열전달

[eqn: q_f ~=~ h_f ~(T_W - T_l )] ,    [eqn: h_f ~=~ A_1f~ C_h ~rho_l~ U_l]

②[eqn: { q}`_{e } ^{'' }] (evaporation heat flux) ; 기포 생성에 요구되는 열전달

[eqn: q_e ~=~ pi over 6 { D_d} ^{3 } ~ rho_g~ f~ n~ h_fg]

③[eqn: { q}`_{Q } ^{'' }] (quenching heat flux) ; 생성된 기포가 가열 벽면을 이탈한 후 이                         탈된 지점으로 유입된 상대적으로 차가운 액체로의 열전달

[eqn: q_Q ~=~ h_Q ~(T_W - T_l )] ,  [eqn: h_Q ~=~ 2 over pi^0.5 f~ A_2f~ SQRT{t_w~ k_l~ rho_l~ C_pl }]

여기서 [eqn: D_d] ; bubble departure diameter

[eqn: =~ min~ [~ 0.0014, ~0.0006 ~exp( {T_l - T_sat } over 45 )~]]

[eqn: f] (departure frequency)    [eqn: =~ SQRT {{ 4 ~ g ~ TRIANGLE rho} over {3~ d_Bw~ rho_l } }]

[eqn: n] (nucleation site density) [eqn: =~ (~185 ~(T_W - T_sat )~)^1.805]

위식들에서 [eqn: C_h]는 국소 St수를 의미하며, [eqn: A_1f] 및 [eqn: A_2f] 와 [eqn: t_w] (waiting time)        는 다음과 같이 주어진다.

[eqn: A_1f ~=~max (1~-~ pi ~{ d}`_{ Bw} ^{2 }~ n, ~0)]

[eqn: A_2f ~=~pi~ { d}`_{ Bw} ^{2 }~ n]

[eqn: t_w ~=~ 0.8 over f]

2) 난류모델

- 이상유동시 난류에 대한 모델은 넓은 유동 범위에서 유동장 예측에 일반            적으로 사용될 수있는 모델이 아직 개발되지 못한 실정

o Sato & Sekoguchi model (1975)

- 단상 유동에서 사용되는 [eqn: k-epsilon]모델을 이상 유동에 적용할 수 있도록 일반           화한 모델과 기포에 의해 야기되는 난류 모델

- 액상은 난류로, 기상은 기포 내부의 유동이 미미한 점을 고려하여 층류로           가정

(5) 계산알고리즘

- Rhie-Chow interpolation ; 압력과 속도계산시 발생할 수 있는 수치적 불안                                   정성인 Chequerboard oscillation 방지

- SIMPLEC algorithm ; 속도장과 압력장 연결

- Hybrid 차분방식 ; [eqn: k], [eqn: epsilon] 및 기포율에 대한 대류항을 제외한 나머지 모든 변                           수의 대류항

- Upwind 차분방식 : [eqn: k], [eqn: epsilon] 및 기포율에 대한 대류항

o 경계조건

-  유로 입구에서의 각 상의 속도와 온도 그리고 액상의 난류 운동에너지([eqn: k])          및 소진율([eqn: epsilon]) [AEA Tech., 1997]

[eqn: k ~=~ 1.5~( I~ U_"in" )^2]

[eqn: epsilon ~=~ k^1.5 over {0.3~ D_h }]

여기서 [eqn: I] (입구난류강도) = 0.05

- 일정 출구 압력 경계조건

- 벽면에서의 액상에 대한 동적 경계조건 ; 벽 법칙

■ 미포화 비등 유동장에서의 벽법칙 재고

- Roy et al. (1997)은 Refrigerant-113의 미포화 비등 유동장실험,

- 비등시 벽면 근처에서의 속도 분포는 단상 유동에서의 속도 분포와는 크게         다른 분포 형태를 보임을 측정

- 단상의 액상 유동에 적용되는 벽 법칙([eqn: u^+ = 2.38 ln y^+ + 5.45])이 미포화         비등 유동에는 적용할 수 없음을 지적

- Velidandla et al. (1996)은 질소와 Refrigerant-113의 단열 이상유동 실험         결과

[eqn: cases { 단상유동`` ;~ u^+~ =~ 2.5 lny^+ ~+~ 5.4 ## 이상유동`` ;~ u^+~ =~ 2.5 lny^+ ~+~ 2.9 ``,~~ u^+ ~=~ 1.85lny^+ ~+~ 0.9 }]

그림 31  수직 유동 해석시 벽 법칙이 기포율 분포에 미치는 영향 :

(a) 낮은 질량 유량            (b) 높은 질량 유량

- 벽 법칙은 기포율 계산 결과에 큰 영향을 미치지 않으나 Roy et al.(1997)은        ASTRID 코드를 이용한 미포화 비등 유동장 해석을 통해 벽근처에서 속도         분포의 정확한 예측을 위해서는 벽 근처에서의 속도모델링에 대한 개선이 이        루어져야 함을 지적