마찰 압력강하 보수적 모델

1. 개요

강제대류하의 이상유동에 압력강하를 정확히 예측하는 것은 모든 공학적 설계에서 펌프부하나 계통내 유량 및 압력분포를 결정하는데 매우 중요하다. 특히 원자로 DBA사고시 SBLOCA에서의 자연순환유량 결정이나 기포율등 2상유동 변수를 비롯한 유체의 성질을 계산하기 위해서는 계통내 압력분포를 알아야 한다. 또한, ECCS 계통배관이나 가압기 밀림관등에서 마찰압력 강하는 안전주입량 및 유체의 흐름에도 영향을 주게 된다. 이러한 유체 흐름에 의한 압력 강하는 사고 전개동안 PCT에 직접적으로는 큰 영향이 없으나 LOCA 규제지침에서 2상유동효과 및 Re에 대한 마찰압력 손실을 고려하도록 되어있고 특히 10 CFR 50의 Appendix K에 실험치와 비교되어 검증되고 PCT에 보수적인 영향을 줄 수 있는 모델을 사용한 two-phase friction multiplier을 사용하도록 규제하고 있다.

2. 열수력 현상

모든 유체는 흘러가면서 마찰에 의한 압력 강하를 겪게 된다. 특히 마찰압력강하는 냉각재가 흐르는 구조물의 형태와 냉각재의 물성 및 유동형태에 의해 결정된다. 따라서 여러 가지 구조물과 냉각재 특성에 대한 마찰압력강하를 측정하고 상관식들을 도출하였다.

원자로 계통에서 사고시 이상유동이 발생하면 friction의 결정은 냉각재의 유동형태에 의해 정해지며 특히 기표율, slip ratio등에 크게 의존하며 중력 압력강하가 dominant한 단상유동에 비해 이상유동에서는 마찰압력강하가 dominant해 진다. 원자로 해석 코드에서는 flow regime에 따라 wall friction이 결정되며, 유로의 변화에 의한 손실은 mechanistic form loss 모델에 의해 결정된다.

사고 시나리오별로 그 현상 및 중요도를 살펴보면 우선 LBLOCA의 Blowdown 기간동안에서는 마찰압력에 의한 사고전개 영향은 critical flow 등에 의한 압력강하에 비해 적으나 펌프 및 증기발생기에서의 form loss에 의한 영향은 중요하다. 그리고, flashing 및 이상유동에 의한 압력변동도 중요한 영향을 준다.

Post-blowdown 기간동안은 노심, upper plenum, 증기발생기, 펌프등에서 복잡한 이상유동이 형성되어 마찰압력강하의 중요도가 blowdown 기간보다 중요해지나 PCT에 미치는 영향은 그렇게 크다고 볼 수 없다.

SBLOCA의 경우는 자연대류가 발생하기 때문에 이는 계통의 압력손실과 밀도차에 의해 유량이 형성되기 때문에 계통 압력손실에 큰 영향을 주는 마찰압력손실이 매우 중요하다.

3. 열수력 모델

유체 흐름시 압력손실은 다음과 같은 모멘트 방정식으로부터

[eqn: - partialp over partialz ~=~ under { 1 over g_c left[ partialG over partialt + partial over partialz left( {G^2 A} over {<rho' >} right) right]} ~+~ under {g over g_c < bar rho >sin theta } ~+~ under {{tau_w P_f} over A }]            (1)

acceleration           gravity       friction

4가지 part로 구성된다.

[eqn: ~ TRIANGLE p ~=~ TRIANGLE p_accel ~+~ TRIANGLE p_grav ~+~ TRIANGLE p_frict ~+~ TRIANGLE p_local]                   (2)

먼저 열전달에 의해 기포율의 변화(기화 혹은 수축)에 따라 유체가 가속되면서 겪는 모멘트의 변화를 나타내는 accelerational pressure chrop([eqn: triangle P_accel])는 다음과 같다.

[eqn: TRIANGLE p_accel] = [eqn: 1 over g_c int from z=0 to L_H partial over partialz ( G^2 over {<rho' >} ) dz]                                 (3)

이러한 압력강하는 밀도변화가 거의 없는 단상유동에서는 무시가능하고 균일유동(homogeneous flow)에서는 다음과 같다.

[eqn: TRIANGLE p_accel] = [eqn: G^2 over g_c left[ 1 over {<rho(L_H ) >} - 1 over {<rho( lambda_o )>} right]]  = [eqn: v_fg over g_c G^2 <x``(L_H )>]        (4)

한편 gravitational pressure drop([eqn: triangle P_grav])는 다음과 같고

[eqn: TRIANGLE p_grav] = [eqn: g over g_c int from z=0 to L_H {< bar rho >} dz]                                       (5)

이상유동에 대해서는,

[eqn: {TRIANGLE p^2phi}_grav] = [eqn: g over g_c int from lambda_o to L_H {<rho' >} dz]                                      (6)

여기에서 축방향의 밀도분포는 energy balance, void-quality relation 그리고 mixture density의 정의에 의해 구할 수 있다.

셋째, 본 보고서의 대상이 되는 마찰압력강하([eqn: triangle P_fric])에 대해서는 일반적으로 이상유동의 경우 극심한 turbalance와 기포들의 break 작용에 의해 단상유동에서의 마찰압력강하보다 매우 크다. 즉,

[eqn: {TRIANGLE p^2phi}_fric ~>~ {TRIANGLE p^1phi}_fric]  ,    여기서  [eqn: {TRIANGLE p^1phi}_grav] = [eqn: K G^2 over {2g_c rho_l }]            (7)

이러한 차이를 보상하기 위해 다음과 같은 two-phase friction multiplier를 정의한다.

[eqn: {TRIANGLE p^2phi}_fric ~==~ {TRIANGLE p^1phi}_fric][eqn: phi_lo^2]                                           (8)

그러면 이상유동 마찰압력은 다음과 같이 표시된다.

[eqn: {TRIANGLE p^2phi}_fric] = [eqn: K G^2 over {2g_c rho_f } phi_lo^2 (<x>, p, .....)]                            (9)

따라서 이는 [eqn: phi_lo^2] [eqn: under TRIANGLE] [eqn: (dp/dz)_2phi / (dp/dz)_1phi] 를 의미하며 이 multiplier는 건도, 유량, 압력등의 변수이다. 이 multiplier를 구하기 위해 이상유동 압력강하를 다음과 같이 표시하면 다음과 같다.

[eqn: {TRIANGLE p^2phi}_fric] = [eqn: K G^2 over {2g_c <rho_2phi > }]                                        (10)

우선 균일유동에 대해서는 [eqn: <rho_2phi > ~=~ <rho_H >] 이므로 식 (9) 및 (10)에서 다음과 같이 구할 수 있다.

[eqn: phi_lo^2] = [eqn: rho_f / <rho_H >] = [eqn: (1~+~ v_fg over v_f <x>)]                          (11)

4. 열수력 실험 데이터베이스

two-phase friction multiplier ([eqn: phi_ello^2])에 대해서는 그동안 많은 실험연구가 행해져 여러 가지 상관식들이 제시되고 있다. 10CER50 Appendix k에서는 다음과 같은 상관식들을 제시하고 있다.

□ modified Baroczy 상관식

□ Thom 상관식 ( > 250 psia )

□ Martinelli-Nelson 상관식 ( < 250 psia )

그러면 현재 제시되고 있는 여러 가지 상관식을 살펴보자.

1) Homogeneous flow

[eqn: phi_lo^2] = [eqn: rho_f / <rho_H >] = [eqn: (1~+~ v_fg over v_f <x>)]

한편, two-phase friction factor, [eqn: f_2phi] , 에 대해

① [eqn: f_2phi ~=~ f_1phi]

② [eqn: f_2phi] has the same Re dependence as [eqn: f_1phi]

[eqn: f_2phi over f_1phi ~=~ {C_1 / Re_2phi^n } over {C_1 / Re_1phi^n } ~=~ left( mu_2phi over mu_1phi right)^n]                            (12)

★ appropriate correlations for two-phase viscosity

ⓐ McAdams et al.   :  [eqn: mu_2phi over mu_1phi ~=~ left[ 1+x`` left( mu_f over mu_g -1 right) right]^-1]

ⓑ Cichitti et al.      :  [eqn: mu_2phi over mu_1phi ~=~ left[ 1+x`` left( mu_g over mu_f -1 right) right]]

ⓒ Dukler et al.      :  [eqn: mu_2phi over mu_1phi ~=~ left[ 1+beta`` left( mu_g over mu_f -1 right) right]]

따라서, two-phase viscosity effect를 고려한 modified [eqn: phi_lo^2] 는

[eqn: phi_lo^2] = [eqn: (1~+~ v_fg over v_f <x>)][eqn: left[mu_f over mu_g <x> + (1-<x>) right]^-n]                     (13)

2) For separate flow,

① Chisholm 상관식

[eqn: phi_lo^2] = [eqn: rho_f over <rho'>] = [eqn: left[ (1-<x>)^2 over (1-<alpha>) + rho_f over rho_g <x>^2 over <alpha> right]]                      (14)

② Levy model for ideal annular flow

[eqn: sum ~F_i ~=~ 0]    or    [eqn: p``A - [p+ dp over dz ] A - tau_w`` P_f`` dz ~=~ 0]

[eqn: therefore ~ - left( dp over dz right)_2phi ~=~ {tau_w`` P_f} over A ~=~ 4tau_w over D_H]

그러면 [eqn: phi_lo^2] 의 정의에 따라,

[eqn: phi_lo^2] = [eqn: left[ (1-<x>) over (1-<alpha>) right]^2-n]   ,where typical value of n is 0.25    (15)

③ Martinelli-Nelson [eqn: phi_lo^2]

이는 steam-water 에서의 data 로써 어떤 압력에서도 [eqn: phi_lo^2] 이 quality에            따라 변한다고 보고 다음과 같은 상관식을 제시하였다

[eqn: phi_lo^2] = [eqn: PROD (G,P) (1.2[(rho_f /rho_g )-1]<x>^0.824 ) +1.0]                (16)

where

[eqn: PROD (G,p) = 1.36+0.0005p+0.1(G/10^6 ) -0.0007p(G/10^6 ),~~~(G/10^6 )<0.7]

[eqn: = 1.26-0.0004p+0.119(G/10^6 ) +0.00028p(G/10^6 ),~~~(G/10^6 )>0.7]

여기서 어떤 주어진 건도에서는 유량효과가 거의 없고 또한 압력이 높을           경우 중요하게 되는 표면장력 효과를 고려하고 있지 않다.  그림 1은 건도와       압력의 함수로 표시된 [eqn: phi_ello^2] 값이다.

④ Baroczy correlation

[eqn: phi_lo^2](G) = □[eqn: phi_lo^2](Gref)

= [eqn: left[ 1+ C over X_tt + 1 over X_tt^2 right] (1-<x>)^2-n]                          (17)

where  [eqn: C ~=~ -2.0 + (28-0.8G^1/2 )``exp left[ - {(log_10 LAMBDA +2.5)^2} over 2.4-G/10^4 right]]

[eqn: LAMBDA ~=~ rho_g over rho_f left( mu_f over mu_g )^0.2],     n = 0.2

⑤ Thom correlation

M-N 상관식과 유사하지만 건도가 3 - 100%, 압력 15 - 3,000 psia 의 넓은       범위를 포함하고 있다. 그림 3 은 Thom [eqn: phi_ello^2] 을 나타낸다.

5. 토 의

앞절에서 제시된 상관식들의 비교는 그림 4 와 5에 제시하였다. 종합하면 다음과 같다.

(1) 압력이 감소할수록 [eqn: phi_ello^2] 는 급격히 증가한다.

(2) 유량의 변화에 따라서는 크게 변하지 않는다.

(3) co-current vertical flow에서는 유량이 클 경우 정확하다.

(4) Thom 상관식은 유량 효과를 고려치 못하고 있으나 넓은 건도 및 압력범위를      포함하고 있고 가장 homogeneous 조건에 유사하다.

(5) Martinelli - Nelson 상관식이 실제 적용에서는 가장 보수적이다.

그러나 낮은 압력에서는 이 상관식이 모든 유량 및 건도 범위에서 [eqn: phi_ello^2] 를 낮게     예측하고 있다.

(6) M-N 상관식은 주로 separate flow에서 구한 것이므로 다른 flow                 regime(annular 등)에서는 많은 연구에서 수정을 행하고 있다.

(7) 또한 highly subcooled boiling의 경우 적용이 세심한 주의가 필요하다.

그림 2  Baroczy Data

그림 1 Martinelli-Nelson Data

그림 4 각 [eqn: phi_ello^2] 상관식 비교

그림 3  Thom Data

그림 5  각 [eqn: phi_ello^2] 상관식 비교

검토 자료 목록

1. Baroczy, C.J., "A Systematic Correlation for Two-Pressure Drop", Chem.

Engng. Prog. Symp. Series, No. 64, Vol.62, 1965

2. Thom, J.R.S., "Prediction of Pressure Drop During Forced Circulation Boiling     of Water", Int. J. of Heat & Mass Transfer, 7, 709-724, 1964

3. Martinelli, R.C., Nelson, D.B., "Prediction of Pressure Drop During Forced         Circulation Boiling of Water", Transactions of ASME, 695-702, 1948

4. R.T.Lahey, Jr. and F.J.Moody, "The Thermal-Hydraulics of a Boiling Water      Nuclear Reactors", ANS, 1993.

5. Yih-Yun Hsu and R.W.Graham, "Transport Processes in Boiling and             Two-Phase Systems", Hemisphere Pub. Co. , 1976