제4장 MOS Transistor

4-1. Strong Inversion

Use an oxide layer and "gate" electrode to induce non-equilibrium state in semiconductor

Think of MOSFET shown below as induced reverse leakage on reverse biased diode.

consider aluminum gate

[eqn: Phi_M] = 4.1 eV   [eqn: chi _Si] = 4.05 eV

for p-doped material, p = [eqn: N_A] = [eqn: 10^15]

[eqn: E_i - E_f = kT over q ln 10^15 over 10^19 = 0.3 eV]

[eqn: Phi_Si] = 4.05 + 0.3 + 0.55 = 4.9 eV

Now insert oxide...

By analogy with PIN, oxide will drop some voltage

Now, what are the constraints which gives us the proper solution?

[eqn: - 1 over q ( Phi_M - Phi_Si`` )] gives us total potential.

Physical constraints ---

[eqn: psi_tot = psi_I '' + psi_S '']  two potential drops add up to total ..

[eqn: E_I] = const = [eqn: {psi_I ''}over X_I]

This latter equation now allows us to get the equivalent of pn junction result ([eqn: N_d] [eqn: X_n] = [eqn: N_a] [eqn: X_p] ). Since dieletrics are different we must use [eqn: D_N] continuous :

[eqn: epsilon_SiO_2 `E_I ``= ``epsilon_Si ``E_Si ``= ``q`N_A X_p]

[eqn: q`` psi = - E_i]   [eqn: q`` phi = - E_f]

[eqn: psi_B □ = - 1 over q (E_i - E_f ) = psi - phi_B]

Now the normal Boltzmann equation gives

[eqn: p ``= ``n_i ```e ^{{-q` psi_B '}over kT} = n_i ``e^{{- psi_B '}over V_T}] where [eqn: V_T = kT over q]

[eqn: n ``= ``n_i ```e ^{{+q` psi_B '}over kT} = n_i ``e^{{+ psi_B '}over V_T}]

Hence in the bulk "B" we get

[eqn: psi_B ' = -V_T `ln ``P_p over n_i ``= ``- V_T ``ln `left( N_A over n_i right)]

Clearly we want non-equilibrium and [eqn: psi(x)]

Thus lets go to "Quasi-Fermi Levels" and still use the same basic notation

[eqn: psi' = psi - phi_B~~~~~~~~~~~~~~~~~~~##phi_p == phi_p - phi_B ~~or~~ phi_n ' == phi_n - phi_B]

so that

[eqn: p ``=`` n_i``` e^{-{(psi' - phi_p ')} over V_T}]

or

[eqn: n ``=`` n_i``` e^{+{(psi' - phi_n ')} over V_T}]

This is exactly consistent with our earlier definition .... recall

[eqn: p ``=`` n_i``` e^{{(phi_p - psi )} over V_T}]

and

[eqn: n ``=`` n_i``` e^{{(psi - phi_n )} over V_T}]

Now we are saying :

[eqn: p = n_i`` e^{-[( psi - phi_B ``) - (phi_p - phi_B )]/V_t}]

[eqn: n = n_i`` e^{[( psi - phi_B ``) - (phi_n - phi_B )]/V_t}]

At the surface we want electrons. Recall the coordinate for x and y, x in the bulk and y along the surface. The channel potential is :

[eqn: V(y) = phi_n (y) - phi_B = phi_n (y)']

since [eqn: n ``=`` n_i``` e^{+{(psi' - phi_n ')} over V_t}]

then [eqn: n ``=`` n_i``` e^{+{psi' - V(y)} over V_t}]

At the surface ( x=0) we define "Strong Inversion" as the condition where

[eqn: n RIGHT |_x=0 = p_p]

[eqn: p_p ``= ``n_i ``e``^{(psi' - V(y))`/V_t}]

[eqn: psi_su '`` =`` V_t`` ln p_p over n_i + V(y)##= - psi_B ' + V(y)]

Now revising our earlier potential plot...

Notice total band bending ( i.e., positive shift in potential is [eqn: psi_su □ - psi_B ']

Now lets define the "Surface Potential" as follows

[eqn: psi_s '' ==`` psi_su □ - psi_B ']

If we want strong inversion then,

[eqn: psi_s ''` =`` - 2 psi_B ' + V(y)]

This is the total band bending which will satisfy poissons equation. Namely, now we can return to normal depletion layer type solutions and deal with [eqn: psi_s ''] as the key variable.

Depletion layer solution

(Ignoring mobile charge.. we'll confirm later)

[eqn: {d^2 `psi'}over {d`x^2}``=`` {q`N_A}over epsilon_Si ~~~~~~~x > 0]

[eqn: E(X) = {qN_A {X_d} ^2 } over epsilon_Si left( 1 - X over X_d right) `~~~~~~~~~#### psi' (X) = 1 over 2 {qN_A {X_d} ^2 } over epsilon_Si left( 1 - X over X_d right)^2 + psi_B ']

so that at the surface X = 0 at strong inversion,

[eqn: psi_SU ' (0) =- psi_B ' + V(y) = 1 over 2 {qN_A {X_d} ^2 } over epsilon_Si + psi_B ']

[eqn: psi_S '' = psi_SU ' (0) - psi_B ' = 1over 2 {q N_A {X_d} ^2} over epsilon _Si ~( = - 2 psi_B ' + V ``)]

solve for [eqn: X_d] (V) ,

[eqn: X_d ``( V ```) = sqrt {{2 epsilon_Si}over {q N_A }} sqrt{psi_S ''} =sqrt {{2 epsilon_Si}over {q N_A }} sqrt{-2psi_B ' + V(y)}]

Thus [eqn: Q_Sd] the "semiconductor depletion charge" is

[eqn: Q_Sd = qN_A X_d = sqrt {2 q N_A epsilon_Si } ~~cdot sqrt {psi_S ''}]

Now to get back to potentials, we need to use constant capacitance of oxide

[eqn: C_ox = epsilon_ox over X_ox] and [eqn: psi_I '' = Q_Sd over C_ox]

[eqn: psi_I '' = {sqrt{2 q N_A epsilon_Si }} over C_ox cdot sqrt {psi_S ''}]

Finally, if we wish to find the psi_tot ( and now we can realize its the gate voltage to get the strong inversion)

[eqn: psi_tot = psi_I '' + psi_S '' = {sqrt{2 q N_A epsilon_Si }} over C_ox cdot sqrt {psi_S ''} + psi_S '']

4-2 Threshold Voltage

Incorporation of work function ( and other offsets) in strong inversion

This says, to get FB's in Si, we must apply [eqn: V_G] = -0.8 volts to get it. Obviously the materials are non-equilibrium, as per [eqn: phi_n] / [eqn: Phi_p] across the oxide. But if, there isn't charge in Si, then there can't be E(x) Also, one can say [eqn: V_FB '] corresponds to a flat vacuum level :

[eqn: psi_tot = V_G - V_FB]

Now, using this in conjunction with the last equation form lecture notes #27 (corrected as shown in class [eqn: V_G] (th) -> [eqn: psi_tot] ) Threshold becomes

[eqn: psi_tot =V_G (th) - V_FB = {sqrt{2 q N_A epsilon_Si }} over C_ox cdot sqrt {psi_S ''} + psi_S '']

Thus the gate voltage (applied) to get strong inverstion is :

[eqn: V_G (th) = V_FB + {sqrt{2 q N_A epsilon_Si }} over C_ox cdot sqrt {psi_S ''} + psi_S '']

EXAMPLE

[eqn: N_A = 10^15] /[eqn: cm^3]   [eqn: t_ox] = 1000 A  -> [eqn: C_ox] = [eqn: 3.45 times 10^-8 F] / [eqn: cm^2]

[eqn: psi_S '' (V = 0) = -2 left( - kt over q ln 10^15 over 10^10 right) = 0.6 volts]

[eqn: {sqrt{2 q N_A epsilon_Si }} over C_ox = sqrt {{2 cdot 1.6 times 10^-19 cdot 11.7 cdot 8.85 times 10^-14 }}over {3.45 times 10^-8} = 0.5 sqrt V]

For Al gate [eqn: V_FB] = -0.8 V

[eqn: V_G (th) = -0.8 V + 0.5 sqrt 0.6 + 0.6 V ~approx ~0.2~ V]  almost on all the time

[eqn: N_A] = [eqn: 10^16] /[eqn: cm^3]  (everything else the same)

[eqn: {sqrt{2 q N_A epsilon_Si }} over C_ox = 1.67 sqrtV]

[eqn: psi_S '']= 0.7 V

[eqn: V_G (th) = -0.8 + 1.67 cdot sqrt 0.7 + 0.7 = 1.3 V]

Summary of Threshold for MOSFET

[eqn: V_G (th) = V_FB + Q_Sd over C_ox + psi_S '']

These terms are:

The flat band condition

The bulk charge term

The strong inversion condition

For [eqn: V_G] > [eqn: V_G](th) we now assume the following

A sheet electron charge builds up at the surface

Negligible charge in [eqn: psi_S ''] occurs due to bulk potential drop

In terms of [eqn: rho](x) and [eqn: psi'](x) the following is assumed.

For [eqn: V_G] > [eqn: V_G](th) , extra gate voltage drops across oxide and terminates on [eqn: Q_n] ( no extra change in [eqn: psi_S ''] is needed)

[eqn: Q_n (V_G ) = C_ox ( V_G - V_G (th))]

where does [eqn: Q_n] come from:

Generation in bulk --- if pulse applied then " deep depletion " until generation fills                               [eqn: Q_n]

If [eqn: n^+] source near by then [eqn: Q_n] comes via external source

How does one see such effects :

measure C-V under different conditions - very low frequency

- pulsed DC + AC

- high frequency

It is convenient to rewrite the [eqn: X_d - V_G] relationship so that :

[eqn: V_G - V_FB = {q`N_A ~x_d}over C_ox + {q`N_A}over {2 epsilon_Si } {x_d} ^2]

[eqn: x_d = - epsilon_Si over C_ox + sqrt {left(epsilon_Si over C_ox right)^2 + {2 epsilon_Si}over {q N_A}( V_G - V_FB )}]

MOS capacitance

[eqn: C(V) = dQ_Sd over dV_G = d over dV_G (q N_A x_d )~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~## = {qN_A}over 2 {2 epsilon_Si } over {q N_A }left [ left( epsilon_Si over C_ox right) ^2 + {2 epsilon_Si}over {qN_A}(V_G - V_FB ``) right] ^-1/2 ## = {epsilon_Si}over {x_d + epsilon_Si over C_ox} = 1 over {x_d over epsilon_Si + 1 over C_ox} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~]

and realizing that [eqn: C_dpl = Epsilon_Si over x_d]  C(V) = [eqn: 1 over {1 over C_ox + 1 over C_dpl}]

at low frequency : DC ([eqn: V_G] ) and AC both change slowly so that equilibrium all the time

at high frequency : AC rapid and DC slow

light를 비춰서 depletion layer 내에서의 generation rate 가 상승되거나 또는 inversion layer가 자유전자의 source 와 ohmic contact 로 연결되어 있을 때는 high frequency 에서도 low frequency behavior가 나타난다.

at deep depletion : both DC and AC vary very rapid

relaxation : 매우 높은 DC voltage 에서는 generation rate 가 크므로 빠른 AC 변화에 적응이 가능하므로 나타나는 현상.

To summarize capacitance effects, consider the following measurements

4-3 Drain Current

Given that an inversion layer forms such that

[eqn: Q_n ``(V_G ) = C_ox ``( V_G - V_G^{`th}`` (y) )]

where,

[eqn: V_th (y) = V_FB + {sqrt{2q N_A epsilon_Si}over C_ox}sqrt psi'' + psi_S '']

and

[eqn: psi_S '' = -2 psi_B ' + V(y)]

we can now consider current flow along the y-direction, given a device of length L and width W

Assuming only electron drift along the channel (y)

[eqn: I(y) = W cdot Q_n (y) mu dV(y) over dy]

and I(y) is constant along y

Hence, rewriting the equation:

[eqn: I(y) dy = mu W cdot Q_n (V(y)) dV(y)]

and integrating over the y and dV(y) variables,

[eqn: I INT _{ 0}^{L }dy = INT _{ V_S}^{V_D }mu W cdot C_ox ( V_G - V_th (y) ) dV(y)]

To be careful ( and consistent), reference [eqn: V_S] , [eqn: V_D] , and [eqn: V_G] to [eqn: V_B] ... [eqn: V_SB] , [eqn: V_DB],  and [eqn: V_GB]

using the full expression for [eqn: V_{th}] (y) :

[eqn: I_DS={mu C_ox W}over {L} INT _{ V_SB}^{V_DB }~ left[ V_GB - V_FB - sqrt{2 q N_A epsilon_Si} over C_ox sqrt{-2psi_B ' + V(y)} - ( - 2 psi_B + V(y)) right] dV(y)]

full integral gives

[eqn: I_DS = {mu C_ox W}over {L} ~ left[ (V_GB - V_FB + 2 psi_B ') V(y) - 2 over 3 sqrt{2 q N_A epsilon_Si} over C_ox ( - 2 psi_B ' + V(y) ) ^3/2 - V(y)^2 over 2 right] RIGHT | _{V_SB}^V_DB]

Now...This is a lovely(and symmetric ) expression but rather difficult to interpret..

If we back up to the integral and make an approximation concerning [eqn: Q_Sd] , things look much nicer.

Namely, assume an average [eqn: bar {Q_Sd} over C_dx] = [eqn: sqrt{2 q N_A epsilon_Si }over C_ox sqrt {-2 psi_B ' + V_SB}]

Then,

[eqn: I_DS = {mu C_ox W}over {L} ~ left[ left(V_GB - (V_FB - 2 psi_B '+ sqrt{2 q N_A epsilon_Si} over C_ox sqrt {-2 psi_B ' + V_SB})right)V(y) - V(y)^2 over 2 right] RIGHT | _{V_SB}^V_DB]

and defining

[eqn: V_T == V_FB - 2psi_B ' + sqrt{2 q N_A epsilon_Si} over C_ox sqrt {-2 psi_B ' + V_SB}]

[eqn: I_DS = {mu C_ox W}over {L} ~ left[ (V_GB - V_T ) V(y) - V(y)^2 over 2 right] RIGHT | _{V_SB}^V_DB]

even here, lets simplify the equation further by assuming [eqn: V_S] = [eqn: V_B] = 0 so that

[eqn: I_DS = {mu C_ox W}over {L} ~ left[ (V_GS - V_T ) V_DS - {V_DS}^2 over 2 right]]

and recall [eqn: Q_n] (y) = [eqn: C_ox] ( [eqn: V_GS] - [eqn: V_T] - V(y))

Before sketching [eqn: I_DS ~~vs~~ V_GS ~and~V_DS]  observe that :

[eqn: {partial I_DS} over {partial V_DS} = {mu C_ox W} over L left[ (V_GS - V_T ) - V_DS right]] = 0 when [eqn: V_GS - V_T = V_DS]

And using this value for [eqn: V(y) = V_GS - V_T] we observe [eqn: Q_n] = 0

That is once [eqn: V_DS = V_GS - V_T], the inversion layer disappears at y = L

Based on the simple equation, the solid lines give [eqn: I_DS] . The mark indicates where [eqn: V_DS = V_GS - V_T]

The dashed lines indicate the "saturated" lines that flows after the drain end of the inversion layer has "pinched-off'

For small [eqn: V_DS] the equations can be further simplified so that

backing up to equation [eqn: I_DS = {mu C_ox W}over {L} ~ left[ (V_GB - V_T ) V(y) - V(y)^2 over 2 right] RIGHT | _{V_SB}^V_DB]

it is useful to point out that pinch off can occur at either end of the channel.

Drain saturation : [eqn: {partial I_DS } over partialV_DB RIGHT | _{V_GB , V_SB ~=const} = 0]

Source saturation : [eqn: {partial I_DS } over partialV_SB RIGHT | _{V_DB , V_GB ~=const} = 0]

Assuming the drain is saturated, [eqn: V_DB] = [eqn: V_GB] - [eqn: V_T]

Thus

[eqn: I_DS = {mu C_ox W}over {L} ~ left[ {(V_GB - V_T )^2} over 2 - ( V_GB - V_T - V_SB over 2 ) V_SB right]]

and making the substitution [eqn: V_GB] = [eqn: V_GS] + [eqn: V_SB]

[eqn: I_DS = {mu C_ox W}over {L} ~ left[ {(V_GS - V_T + V_SB )^2} over 2 - ( V_GB - V_T + V_SB over 2 ) V_SB right]]

and canceling all cross terms the result gives,

[eqn: I_DS = {mu C_ox W}over {L} ~ {(V_GS - V_T )^2 } over 2]

so ... even with [eqn: V_S != V_B !=0] we get a simple equation... knowing [eqn: V_G] with respect to [eqn: V_S] and [eqn: V_T] ( ala [eqn: V_SB] term), out drops [eqn: I_DS] ( [eqn: V_GS] , [eqn: V_T] )

Now in looking at and applying M&K equations given on p 356 be careful !

I'd strongly suggest that the boxed equations above are safer and do reduce to M&K forms given proper assumptions

Summary of [eqn: I_DS] equations

"simple" theory

use [eqn: Q_Sd over C_ox] to get [eqn: V_T] ( most often we use [eqn: V_SB] in [eqn: Q_Sd] term)

[eqn: I_DS = {mu C_ox W}over {L} ~ left[ (V_GS - V_T ) V_DS - {V_DS}^2 over 2 right]]

□standard 3/2 power equations"

leave [eqn: Q_Sd] ( [eqn: V_DB] , [eqn: V_SB] ) so that

[eqn: I_DS = {mu C_ox W}over {L} ~ left[ left(V_GB - V_FB +2 psi_B ') V(y) - sqrt{2 q N_A epsilon_Si} over C_ox 2 over 3 (-2 psi_B ' + V(y))^3/2 - V(y)^2 over 2 right] RIGHT | _{V_SB}^V_DB]

using [eqn: V_S] = [eqn: V_B] in the above equation we get the non-symmetric result of M&K eq 8.1.15

Looking at comparison (see M&K fig 8.6 )

Clearly the simple theory over predicts current because it underestimates [eqn: Q_Sd]

again, summarizing this in terms of inversion an depletion charge along the channel

To consider spatial dependence of V(y) let us return to simple theory form and recompute result :

[eqn: INT _{ 0}^{y } I_DS ``dy`` = INT _{ V_S = 0}^{V(y) }mu W cdot C_ox ( V_GS - V_T - V (y) ) dV(y)]

[eqn: I_DS ~y`` = mu W C_ox [( V_GS - V_T ) V (y) - V(y)^2 over2 ]]

[eqn: V(y) = V_GS - V_T - sqrt {(V_GS - V_T )^2 - {2 I_DS cdot y}over {mu C_ox W}}]

now take two limiting cases for [eqn: I_DS]

1) [eqn: I_DS approx {mu C_ox W} over L (V_GS - V_T ) V_DS]   small voltages

[eqn: V(y) = (V_GS - V_T ) left[1 - sqrt{1-2 V_DS over {(V_GS - V_T )} y over L} right]]

and using small argument expansion of [eqn: sqrt {1 - xi }]

[eqn: V(y) approx V_DS cdot y over L] ......linear in y ! (not surprising)

2) [eqn: I_DS approx {mu C_ox W}over L {(V_GS - V_T )^2 } over 2] i.e., V(y) = [eqn: V_GS - V_T]  ( saturation value)

[eqn: V(y) = (V_GS - V_T ) left[ 1 - sqrt{1- y over L} right]]

This is clearly non-linear...

To help interpret, consider [eqn: partialV over partialy]

[eqn: partialV over partialy ={V_GS - V_T}over 2L over sqrt {1- y over L}]

Now.... at y = 0,   [eqn: -E = {V_GS - V_T} over 2L]

at y L/2,   [eqn: -E = sqrt2 over 2 cdot {V_GS - V_T} over L]

and at y = L, [eqn: -E = inf]

What the heck does this mean????

Parameter Calculations for MOSFET

[eqn: mu] = 700 [eqn: cm^2] / Vsec , [eqn: X_ox] = 500 A -> [eqn: C_ox] = [eqn: 6.9 times 10^-8] F /[eqn: cm^2]

[eqn: mu] [eqn: C_ox] = [eqn: 4.8 times 10^-5] A/[eqn: V``^2] ( 48 [eqn: mu] A /[eqn: V``^2] )

Assume W/L = 5  [eqn: {mu C_ox W}over L = 2.4 times 10^-4 A/V``^2]

also assume [eqn: V_T] = 1 V [eqn: gamma == sqrt{2 q N_A epsilon_Si}over C_ox = 0.6 sqrt V]

For [eqn: V_S] = [eqn: V_B] = 0

[eqn: I_DS] = [eqn: 2.4 times 10^-4 ( V_GS - 1V - V_DS over 2 ) V_DS]

If [eqn: V_GS] = 5V   and [eqn: V_DS >= 4 V]

[eqn: I_DS] (sat) = [eqn: 2.4 times 10^-4 (4)^2 over 2] = 1.9 mA

for small [eqn: V_DS] ( still [eqn: V_GS]  = 5V )

[eqn: g_D = {partial I_DS}over {partial V_DS} = (2.4 times 10^-4 ) (4) = 9.6 times 10^-4 A/V = 1 over 1040 OMEGA]

Assuming W = 10 [eqn: mu m] , L = 2 [eqn: mu m]

[eqn: C_ox] = ( [eqn: 20 times 10^-8 cm^2] ) ( [eqn: 6.9 times 10^-8] ) = 0.014 pF = 14 fF

time constant in linear region,

[eqn: tau] = [eqn: 1 over g_D cdot C_G] = ( 1040 ohm ) ( 14 fF ) = 14 pS   (fast)

More generally, [eqn: C_G] does not dominate... loads due to wires and off-chip..

and [eqn: V_DB = V_DS + V_SB]

[eqn: I_DS] = [eqn: {mu C_ox W}over L left[ left( - V_T - V_DS over 2 right) V_DS right]]

note : [eqn: V_T] < 0 , Hence it appears as a "gate bias"

also,k the axis plotted is [eqn: V_S] ( obviously this is inverted from [eqn: V_DS] and shifted by [eqn: V_DD] )

If we include the body effect [eqn: gamma],

Body effect and [eqn: Delta V_T]

[eqn: V_T^o = V_FB ' + psi_S '' + {sqrt{2qN_A epsilon_Si}}over C_ox sqrt{psi_S ''}]

as before

[eqn: V_T == V_FB ' + ( -2 psi_B ' ) + {sqrt{2qN_A epsilon_Si}}over C_ox sqrt{- 2 psi_B '}]

[eqn: V_T^o = V_T - gamma ``sqrt{-2 psi_B '}+ gamma ``sqrt{-2 psi_B ' + V_SB}]

this term get rid of wrong [eqn: Q_Sd /C_ox]

This term adds back the right [eqn: Q_Sd / C_ox]

[eqn: gamma = sqrt{2 q N_A epsilon_Si}over C_ox]

we define [eqn: Delta V_T]

[eqn: Delta V_T ~==~ gamma`` left[ sqrt{-2 psi_B ' + V_SB}```- sqrt{- 2 psi_B '}right]]

[eqn: therefore] [eqn: V_T^o = V_T + Delta V_T]

We can observe this shift in several ways

4-4 Practical Limits of Simple Theory

4-4-1. Velocity Saturation in MOS Devices

simple model에서 [eqn: V_TH] 이상의 전압에서 I-V characteristics 는

[eqn: I_D][eqn: cong][eqn: W over L][eqn: mu][eqn: C_o]( [eqn: V_G - V_TH - V_D over 2] ) [eqn: V_D] ------1

[eqn: I_D] [eqn: cong] [eqn: W over L][eqn: mu C_o ( V_G - V_TH )^2] ------2

식 1은 saturation 이 일어나기 전에 즉 channel pinchoff 전에 적용되며 식 2는 pinchoff 이후에 적용된다.

Saturation은 [eqn: V_DSAT + V_G - V_TH] 때 즉 drain 근처에서의 surface potential 이 더 이상 inversion layer를 받쳐주지 못할 때 발생한다고 정의하였다.

no inversion layer here

The potential at the end of the inversion          layer is simply [eqn: V_G - V_TH]

The average E field in the inversion layer is simply

[eqn: E_avg] = [eqn: {V_G - V_TH } over L_eff]

so if [eqn: V_G - V_TH] = 3 V and [eqn: L_eff] = [eqn: 1 mu] , then

[eqn: E_avg] = [eqn: 3 V over mu] or [eqn: 3 times10^4] V/cm

simple MOS 이론에서 중요하게 내세웠던 가정 중 하나는 [eqn: mu] = constant 이다. 그러나 E field 가 커지면 이 가정은 옳지 않게 된다.

[eqn: mu] 는 실제로 vertical field 가 클 때 작아지게 된다.

[eqn: E_y] 는 inversion layer의 전자들을 surface 쪽으로 잡아당기게 된다.따라서 surface scattering 이 더욱더 일어나게 되고 [eqn: Q_f] 라든가 [eqn: N_it] 같은 oxide charge 들과 전자의 coulombic scattering이 더욱 활발해 진다.

Gauss Law 로부터

[eqn: E_Si] = [eqn: 1 over epsilon_s] ([eqn: Q_INV] + [eqn: Q_B] )

where [eqn: E_Si] 는 surface electric field 이다.

inversion layer를 통털어 수직선상으로 field 가 변하므로 평균 field는

[eqn: E_eff] = [eqn: 1 over epsilon_s] ( [eqn: 1 over 2 Q_INV + Q_B] )

실험적으로 [eqn: mu] 는 아래식에 의해 [eqn: E_eff] 에 연결된다는 것이 밝혀져 있다.

[eqn: mu_eff] = [eqn: mu_max] [eqn: left( E_C over E_eff right)^C_1]

where

[eqn: mu_MAX] = a f(doping)

[eqn: C_1] [eqn: cong] 0.24

[eqn: E_C] [eqn: cong] [eqn: 2.7 times 10^4] V/cm

[eqn: therefore] this equation can be used to correct 식 1 and 식 2 at high [eqn: V_GS]

An additional complication arises because of high lateral E fields ([eqn: E_x] )

[eqn: v_D] = [eqn: mu] E

but [eqn: v_D] saturates when E is on the order of [eqn: 10^4] V/cm for electrons in Si.

[eqn: Therefore] 식 2 로부터 small geometry device는 [eqn: v_D] = [eqn: v_SAT] [eqn: cong] [eqn: 10^7]cm/sec에서 작동한다는 것을 알 수 있다. [eqn: therefore] small geometry device에서는 우리가 가정했던 것과 달리 [eqn: mu ~!=] constant 이므로 I-V curve 에 관한 equation 들을 수정할 필요가 있다.

1. Current saturation 이 [eqn: V_DSAT] 보다 빨리 일어날 수 있다.

2. saturation 영역에서 current는  식 2에서 예측한 것보다 작다.

[eqn: V``'_DSAT] 을 velocity saturation에 의한 [eqn: v_SAT] 의한 drain saturation voltage 라고 정의하면 [eqn: V``'_DSAT] 의 시점에서 unit area 당 inversion charge는

Q [eqn: cong] [eqn: C_ox] ( [eqn: V_G - V_TH] - [eqn: V``'_DSAT] )

If the carriers are travelling at [eqn: v_SAT] then,

I = QW [eqn: v_SAT]

= [eqn: ~C_ox W`` ( V_G - V_TH - V``'_{DSAT} ``) `` mu_o ``E_co] -------------8

where we have assumed the velocity saturates abruptly when E = [eqn: E_co]

식 8에 의해 흐르는 current 는 source 근처에서의 channel 영역에서도 연속적 이여야 하므로 식 1을 이용하면

[eqn: I_D] = [eqn: {mu_o C_ox W } over L left{ V_G - V_TH - {V``'_DSAT} over 2 right} (V``'_DSAT )][eqn: }] -----------9

식 8 과 9로부터

[eqn: V``'_DSAT] = ( [eqn: V_G - V_TH] ) + [eqn: E_co] L - [eqn: sqrt{( V_G - V_TH ``)^2 + ( E_co `L )^2}]  --10

L 이 매우 크면 [eqn: V``'_DSAT] [eqn: rarrow] [eqn: V_G - V_TH] = [eqn: V_DSAT]

이 saturation 영역에서의 Transconductance 는 ,

[eqn: I_D] = [eqn: W over 2L mu C_ox ( V_G - V_TH )^2]( neglecting [eqn: v_SAT] )

[eqn: therefore] [eqn: g_m] [eqn: == {partial I_D } over {partial V_G } = W over L mu C_o ( V_G - V_TH )]

In the saturation region, [eqn: V_DSAT] = [eqn: V_G] - [eqn: V_TH] so that

[eqn: g_m] = W [eqn: C_o] [eqn: mu]  [eqn: V_DSAT over L] = W[eqn: C_o] [eqn: mu] E

그러나 [eqn: mu] E 는 carrier 들의 평균 속도이므로 [eqn: g_m] 의 상한가는 [eqn: v = v_SAT] 에서 나타난다. [eqn: therefore] [eqn: g_{m``MAX}] = [eqn: W ``C_o ```v_SAT] which is independent of L and  [eqn: V_G]

Note in this particular example ( computer simulation)

1. [eqn: V``'_DSAT] is < [eqn: V_DSAT] 즉 current saturation은 velocity saturation 에 의해 일어나는 것이지 channel pinchoff 로 일어나는 것이 아니다.

2. [eqn: g_m] 은 [eqn: v_sat] 에 의해 많이 작아진다. 또한 [eqn: g_m] 은 [eqn: v_SAT] 되면 거의 일정해진다.

4-4-2 Oxide breakdown

절연막은 견딜 수 있는 전압의 한계가 있는 데 이를 breakdown voltage라고 하고 이때 절연막 두께에 걸쳐 형성된 electric field를 breakdown field 라고 한다. MOS transistor에서의 breakdown은 gate oxide의 breakdown을 의미하며 pn junction에서의 breakdown과는 달리 치명적이므로 반드시 피해야 한다. pn junction의 경우는 일단 비파괴적이며 breakdown 시에도 전력의 집중도가 약하므로 voltage regulator등으로 쓰이는 Zener breakdown의 경우와 같이 오히려 breakdown을 능동적으로 이용하는 소자도 있다.

열 산화막의 경우 breakdown field 는 대략적으로 [eqn: 7 times 10^6] [eqn: V cm^-1] 정도이며 따라서 gate oxide의 두께를 1,000 Å이라 할 때 breakdown field 는 약 70 Volts 쯤 된다. 일반적으로 산화막이 질적으로 균일하지 않고 소위 weak spot 등이 존재하게 되므로 실제로는 breakdown field의 약 반 정도를 최대 전압으로 하고 있다. 독립된 소자나 집적된 소자에서도 입력 단자등과 같이 MOS 트랜지스터의 gate elad 가 공기 중에 노출되어 있으면 gate에 형성된 static electricity 에 의해 산화막의 breakdown 현상이 유발 될 수 있다. gate의 capacitance는 그 size가 작아 매우 작은 값이므로 매우 작은 electrical stress에 의해 이러한 현상은 쉽게 발생한다. 이러한 이유로 공기 중에 노출된 게이트의 경우 voltage regulating diode와 병렬연결로 만든다.

이러한 gate protection diode는 꼭 필요한 경우를 제외하고는 될 수 있는 대로 집적회로 상에 만들지는 않으며 그 이유는 회로 상 형성되는 parasitic capacitance 및 leakage 등이 발생되어 MOS 트랜지스터의 작동 능력을 저해하기 때문이다.

4-4-3 Surface Mobility

MOS 트랜지스터의 작동능력은 surface mobility의 개선으로 인해 많은 증가를 보여왔다. mibility의 증가는 gain을 크게 하고 주어진 크기의 소자에서 drain current 값을 높인다. 바로 이점이 mobility가 작은 hole에 의한 p-channel MOS 보다 n-channel MOS 가 최근의 집적회로에서 선호되는 이유가 된다. 앞서 언급한대로 surface에서의 mobility는 bulk에서의 값에 1/2 이하이다. 더욱이 mobility는 [eqn: V_G] 가 증가할 수록 감소한다. 많은 연구가 집중되었음에도 불구하고 그 원인은 명확히 밝혀진바 없으나 대체로 게이트 산화막과 실리콘과의 계면에서의 scattering이 mobility의 감소에 결정적인 것으로 생각되고 있다.  gate 전압이 클수록 free carrier 들이 보다 계면으로 당겨지므로  scattering이 심해져서 mobility의  감소 폭이 커진다. empirical relationship은 다음과 같다.

[eqn: mu_eff = mu_so left( 1 + E_s over E_so right) ^-r]

여기서 [eqn: mu_so] 는 low-filed surface mobility 이고 [eqn: E_so] 는 전형적으로 [eqn: 6 times 10^4] [eqn: Vcm^-1] 그리고 r 은 0.1 에서 0.2 사이의 값이다. 반도체에서 surface mobility [eqn: E_s] 는 식 7.3.13에서 [eqn: phi_s = - phi_p + V_C - V_B] 값을 대입하여 구할 수 있다.

4-4-4 Comments and comparison of [eqn: V_T] vs [eqn: ( ~~ )^3/2] equations

Assume [eqn: {mu C_ox W}over L] = 200 [eqn: mu A /V^2] , [eqn: V_FB - 2 psi_B '] = 0.2 V [eqn: gamma ~approx~ 0.6 sqrt V] and [eqn: -2 psi_B '] = 0.6 volts

given bias below pinch-off [eqn: V_GB] = 5 V   [eqn: V_DB] = 2 V  [eqn: V_SB] = 0

using [eqn: V_T]  : [eqn: V_T] = 0.2 + 0.6 [eqn: sqrt 0.6] = 0.66 volts

[eqn: I_DS = 200 times 10^-6 left[ ( 5 V - 0.66 ) (2) - 2^2 over 2 right]] = 1.3 mA

using [eqn: (~~)^3/2] term :

[eqn: I_DS = 200 times 10^-6 left[ (5V - 0.2) 2 - 2 over3 0.6 ( 0.6 + 2 )^3/2 - 2^2 over 2 right]] = 1.2 mA

For these bias conditions the difference is 10%. For larger [eqn: gamma] as in fig 8.6 the difference can be 100% in saturation.

The beauty of the 3/2 power is that both [eqn: V_DB] and [eqn: V_SB] are accounted for in computing current. The obvious draw-back is that using [eqn: V_T] we only approximate the [eqn: Q_sd] shift ( at source only)

One draw-back of the [eqn: (~~)^3/2] terms are that computation of pinch-off is not as obvious. Also, we must carry along extra terms in computation.