제2장 Bipolar Transistor I

2-1. Introduction

2-2. Structure

2-3. Operation Principle

2-3-1 Introduction

2-3-2 Transistor Action

2-3-3 The Lateral Bipolar Transistor

2-3-4 The Vertical Bipolar Transistor

2-3-5 General Base Transport

2-4 Charge Storage and Charge Control Model

2-4-1 Space Charge and Junction Capacitance

2-4-2 Injected Minority Carrier and Diffusion Capacitance

2-4-3 Charge Control Model

2-5. Saturation

2-6 Current Gain

2-7 Practical Consideration

2-7-1 Early Effect

2-7-2 Effects at Low Emitter Bias

2-7-3 High Level Injection

2-7-4 Base Resistance

2-7-5 Eber Moll Model

2-7-6 Frequency Limitations

2-8 Scaling of Bipolar Transistor

2-9 Summary

2-1. INTRODUCTION

bipolar transistor는 minory carrier와 majority carrier 둘 다를 이용하므로 bipolar라 부르며 이는 MOS transistor가 majority carrier에 의존하기 때문에 unipolar라고 부르는 것과 대조가 된다. bipolar transistor는 MOS transistor에 비해 다음과 같은 특징을 갖는다.

1. MOS transistor는 소스와 드레인에 의해 물리적으로 제한된 channel 부분에서 transistor action 이 발생하므로 소위 self-isolation의 특성을 가지나 bipolar transistor의 경우는 이러한 물리적 제한이 없으므로 transistor 간 전기적 고립을 위해 별도의 isolation 공정 ( 주로 junction isolation)이 필요하다. 따라서 MOS 에 비해 bipolar는 개별 소자의 크기가 크기 때문에 (MOS 에 비해 길이로 약 7배 )집적에 불리하다.

2. transconductance [eqn: g_m] 값은 MOS 에 비해 월등히 크다.

3. current로 control 되므로 입력의 impedence값이 작다.

4. non-saturation circuits 이 사용되는 경우 switching speed가 빠르다.

5. bipolar 이므로 작동 상태가 복잡하다.

6. MOS 에 비해 공정이 복잡하다.

이들 특징에 대한 비교는 나중 MOS transistor에 대한 설명 이후에 다시 자세히 다루게 될 것이다.

2-2. BASIC STRUCTURE

전형적인 IC 구조에서 다음의 점들이 주목 할 만하다.

1. base 영역은 일반적으로 균일하게 doping 되어 있지 않으며 그 결과 base 영역내에 전기장이 형성되고 이렇게 형성된 전기장은 emitter로부터 collector로의 전자 흐름을 도와준다. 따라서 base 내의 non-uniform doping은 전혀 나쁜 영향을 주지 않는다.

2. 이 구조에서는 다음의 parasitics 가 존재한다.

ex: [eqn: R_B] - base resistance from base contact to active base area

[eqn: R_C] - collector resistance (predominantly through [eqn: N^-] layer )

3. 트랜지스터들간의 적절한 전기적 고립은 필수적이다. 이를 위해 PN junction은 일반적으로 reverse bias가 걸리도록한다.

4. base 영역에 [eqn: N^-] collector 영역을 최대로 가까이 함으로써 [eqn: C_BC] 값을 줄일 수 있으며    [eqn: BV_CB] 값의 향상을 가져온다. 또한 collector voltage에 의한 base width modulation 영향을 줄일 수 있지만 소자의 series resistance를 증가시킨다.

2-3 Operation Principle

2-3-1. Introduction

pn junction에서 forward bias의 경우는 각 영역에서 반대편의 영역으로 majority carrier를 inject 함으로써 전류가 흐르게 되며, inject 되는 free carrier들이 각 영역에서 majority carrier이기 때문에 그 공급에 제한이 없으므로 가해주는 전압에 따라 기하급수적으로 전류의 양이 증가하게 된다. 그러나 reverse bias가 걸리면 junction 내의 space charge 영역에서 또는 그 근처에서 발생되는 minority carrier에 의해 전류가 흐르게 되므로 따라서 매우 적은 양의 전류가 흐르게 된다. 하지만 junction 근처에 minority carrier 를 공급해줄 수 있는 방법이 주어진다면 reverse bias 의 경우에도 많은 양의 전류가 흐를 수 있다. 예를 들어 diode photodetector 또는 radiation sensor 에서 incident radiation of energetic particle의 결과 나타나는 현상이 바로 그것이다.

여기 reverse bias 상황에서 많은 양의 전류를 흐를 수 있게 하는 방법이 있는데 reverse bias 된 pn junction 에 매우 가깝게 forward bias 된 pn junction을 위치토록 하는 것이다. forward bias 된 pn junction은 reverse bias 된 pn junction 에 minority carrier를 다량 공급해 줄 수가 있으며 전기적 통제로 minority carrier의 injection을 통제할 수 있기 때문에  이 방법은 앞서의 경우보다 매우 큰 이점이 있다. pn junction 에서 bais를 바꿈으로써 전류의 흐름을 통제하는 것을 바로 bipolar transistor action이라 하며 William Shockley, John Bardeen, and Walter Brattain 등이 Nobel Prize in Physics를 받게 한 발명이다.

기본적인 BJT의 작동은 다음과 같다. :

1) E-B junction을 forward bias 시키기 위해 약 0.7 volts 정도의 전압을 가한다.

2) 전자들은 emitter에 의해 base 영역으로 주입된다. (물론 hole 들은 base 로부터 emitter로 주입되지만 [eqn: N_A], [eqn: N_D] 의 상대적인 차이로 인해 그 양은 극히 미미하다.

3) 만약 base 영역내에서 [eqn: X_B << L_n] 이라면, base로 주입된 대부분의 전자들은 recombination 없이 collector에 이르게 된다. 물론 약간의 전자들은 collector 에 이르기 전에 base 내에서 recombine 되며 이때 필요한 hole들은 base current 의 형태로 제공된다.

4) collector에 다다른 전자들은 C-B depletion region을 넘어 collector에 모여진다. 대부분의 주입된 전자들은 collector에 모여지게 되며 오직 몇 안 되는 hole 들만이 emitter로 주입되기 때문에 우리에게 필요한 [eqn: I_B << I_C] 의 조건을 만족한다. 따라서 충분한 current gain을 얻을 수 있다.

2-3-2. TRANSISTOR ACTION

아래 그림에서와 같이 두개의 pn junction을 back-to-back으로 붙여 하나의 반도체 막대에 형성하면 bipolar transistor가 된다. cross section 면적은 A로 일정하다. W는 충분히 작아서 positive [eqn: V_BE] (forward bias)에 의해 junction1 을 지난 전자들이 junction2에 도달할 수 있다. 여기서 충분히 작다는 말은 가운데의 p-type 영역 (base)에 진입된 전자들이 base를 지나는 동안 recombination이 일어나지 않을 정도를 말한다.

우선 아래 그림에서와 같이 junction을 이룰 때 carrier들의 분포를 다루는 데 있어서 Poisson's equation이 주로 활용되며 그 solution을 구하는 데 있어서 두 가지 중요한 approximation을 하게 된다.

일반적으로 Poisson's Equation에 의하면,

[eqn: {d^2 phi} over dx^2 = - rho over epsilon_s = - q over epsilon_s (p-n+N_d -N_a )]

만약 n-type 재료라면 p 및 [eqn: N_a] 는 무시할 수 있으므로 윗 식은 다음과 같이 간단히 쓸 수 있게 된다.

[eqn: {d^2 phi} over dx^2 = - rho over epsilon_s = - q over epsilon_s (N_d - n )]

Prototype transistor. Two pn junctions J1 and J2 are spaced W units apart.

Each region has a constant doping density. The doping changes abruptly at J1 and J2. The quasi-neutral protion of the middle p-region is bounded by the edges of space-charge zones at x=0 and x=xB, respectively

i) depletion approximation

n type 과 p type으로 접합을 이루는 경우 형성되는 space charge region에서는 free carrier 가 전혀 없다고 가정하는 것. 즉,

[eqn: {d^2 phi} over dx^2 = - rho over epsilon_s = - q over epsilon_s (p-n+N_d -N_a )## cong - q over epsilon_s (N_d )~~ on ~~n-type ~~side ##cong q over epsilon_s (N_a )~~ on ~~p-type~~ side]

이러한 approximation을 통해 Poisson's equation을 쉽게 풀어 주어진 영역내에서의 전기장, potential 등을 구할 수 있다.

ii) quasi-neutrality approximation

재료 내에서 dopant 농도가 변한다고 하면 free carrier의 수 n 과 이온화된 dopant의 농도 [eqn: N_d] 의 수를 같다고 근사하는 것을 quasi-neutrality approximation이라 한다.

이러한 approximation을 통해, [eqn: {d^2 phi} over dx^2 = - rho over epsilon_s = - q over epsilon_s N_d] 의 식이 가능하고 이에 따라 [eqn: E_x = - kT over q 1 over N_d dN_d over dx] 의 해가 쉽게 구해질 수 있다.

예를 들어 n-type silicon에서 dopant concentration이 수천 [eqn: ANGSTROM]에 걸쳐 [eqn: 10^18] 에서 [eqn: 10^16 /cm^3]으로 변한다고 가정하자. 이러한 농도의 변화는 약 0.1 volts 정도의 potential 을 유발하고 따라서 electric field의 값은 [eqn: 10^4] V/cm 가 된다. 만약 0.5 [eqn: mu m] 의 거리에서 0 으로부터 [eqn: 10^4] V/cm 까지의 field 변화가 있다면 average field gradient는 [eqn: 2 times 10^8 V/cm^2] 가 되고 이를 위의 Poisson's equation 에 적용하면  n 과 [eqn: N_d] 의 차이는 [eqn: 10^15 /cm^3] 이하가 된다. 이 값은 donor 농도에 비해 매우 작은 값이므로 [eqn: n cong N_d] 라고 가정하는 것은 대부분의 경우 그리 나쁜 가정이 아니다.

quasi-neutral 영역이라 함은 이러한 approximation 즉, dopant의 농도와 free carrier의 농도가 같다고 가정할 수 있는 부분을 말한다. 만약 트랜지스터에서 높은 [eqn: V_BE] 에 의해 high level injection이 이루어지거나 또는 low level injection 이라 하더라도 base의 농도가 너무 낮은 경우  quasi-neutrality approximation을 할 수 없으며, 따라서 Poisson's equation을 analytical 하게 풀 수 없게 된다.

앞서의 그림에서 junction1 과 junction2 를 통해 base의 majority carrier인 hole이 n-type인 emitter와 collector 로 inject 되지 않는다고 가정한다. 실제로 bipolar 소자에서는 hole의 injection이 최소가 되도록 system을 design 하며 이 가정이 맞지 않을 경우는 나중에 다루기로 한다.

이 경우 다음의 식이 성립한다.

[eqn: J_p~ = ~0~ = ~q` mu_p` p `E_x ~-~ q` D_p` dp over dx] (2.3.1)

and

[eqn: E_x ~=~ D_p over mu_p 1 over p dp over dx = kT over q 1 over p dp over dx] (2.3.2)

따라서 hole current를 0 이라고 하면 식 2.3.2 가 얻어지며 이는 곧 base 내에 dopant의 농도와 gradient에 의존되는 전기장이 존재하게된다는 것이다.  물론 base 내의 dopant 농도가 uniform 하다면 위 식에서 [eqn: dp over dx] term이 0 이 되어 base 내에 전기장은 존재하지 않게 되지만 실제 device의 제작과정에서 base 내의 dopant 농도를 uniform 하게 할 수 있는 방법은 없다.

hole current와는 대조적으로 electron의 경우는 emitter나 collector로부터 base로 forward bias만 걸리면 base로 항상 inject 될 수 있다. 전자에 의한 current는,

[eqn: J_n = q mu_n n E + q D_n dn over dx]               (2.3.4)

[eqn: ~~= kT mu_n n over p dp over dx + q D_n dn over dx]

and

[eqn: J_n = qD_n over p left( n dp over dx + p dn over dx right ) = qD_n over p d(pn) over dx] (2.3.5)

양변에 대해 임의의 구간 x 와 x' 에 대해 적분하면 (이때 recombination이 없다는 가정으로 [eqn: J_n] 을 integral밖으로 빼냄.)

[eqn: J_n INT _{x }^{ x'} p over q dx over D_n = INT _{x }^{ x'}d(pn) over dx dx##=p(x')n(x') - p(x)n(x)]      (2.3.6)

이식은 base 내에서의 minority carrier (전자) 에 의한 current 는 base 양 경계에서의 hole 과 electron 곱 차이를 그 영역에서의 majority carrier density를 적분한 양으로 나눠준 값에 의존하는 것을 나타내고 있다. 여기서 양 limit를 x = 0 과 [eqn: x=x_B] 로 하면  junction voltage에 따라 다음의 값을 구할 수 있다.

[eqn: p(0)n(0) = n_i^2 ~exp left( qV_BE over kT right)###p(x_B ) n(x_B ) = n_i^2~ exp left( qV_BC over kT right)]         (2.3.7)

따라서 base 내로의 electron current 를 junction voltage인 [eqn: V_BE] 와 [eqn: V_BC] 로 나타내면

[eqn: J_n = { q` n_i^2~ left[ exp left( qV_BC over kT right)- exp left( qV_BE over kT right) right]} over { INT _{ 0}^{x_B } pdx over D_n }] (2.3.8)

여기서 [eqn: D_n] 이 base 내의 위치에 따라 거의 변하지 않으므로 평균값 [eqn: bar D_n] 으로 대치하여 적분에서 빼내면 분모의 적분은 단순히 base 내의 unit area 당 전체 majority carrier 의 총 density를 나타내게 된다. 여기에 qA를 곱하면 base majority charge [eqn: Q_B] 가 된다.

then,

[eqn: I_n = I_s left[exp left(qV_BC over kT right) - exp left ( qV_BE over kT right) right]] (2.3.9)

where,

[eqn: I_s = {q^2 A^2 n_i^2 bar D_n }over {Q_B}]   (2.3.10)

이식은 매우 중요한 관계식이다. biploar 의 두 junction 중 대개 하나는 reverse bias 상태로 작동되므로 윗 식의 두 exponential term 중 하나만이 중요하다. ( bipolar 소자가 saturation 상태에서 작동되는 경우는 두 junction 모두가 forward bias 되고 따라서 exponential term 모두가 중요하다.)

ACTIVE BIAS : E-B forward bias, B-C reverse bias -> signal                      amplification mode

Prototype transistor : abrupt junctions and constant base doping

emitter로부터 base로 전자가 inject 되고 이 전자들은 base 영역 내에서 recombination 없이 지나 reverse bias 가 걸려있는 B-C space charge region 을 지나 collector에 이르게 된다. base 의 물리적인  폭이 minority carrier의 diffusion length 보다 작으므로 ( [eqn: x_B < L_n] ) base 내에서는 short base diode 때와 같이 inject 된 전자의 농도가 직선적으로 변하게 된다.

만약 base 가 uniformly doping 되어 있다면 [eqn: E_x] = 0 이며 short base diode의 분석을 적용하면,

[eqn: n_p `=`n_po~ e^{qV_BE over kT}]

[eqn: n_po` = `n_i ^2 `/` N_A]

[eqn: p_n `=`p_no ` e^{qV_BE over kT}]

[eqn: p_no `= `n_i ^2` /`N_D]

여기서 상대적으로 다른 doping level에 의해  [eqn: p_n `《`n_p] 이 된다.

또한 base 의 doping level 이 일정하다면 [eqn: Q_B `=` q`A`N_A` X_B] 이며 식2.3.9 와  2.3.10 식에 의해 직접적으로 다음의 결론을 얻을 수 있다.

[eqn: I_n = - {qD_n An_i^2} over {N_A X_B}(e^{qV_BE over kT } -1)]

(2.3.11)

(BC junction 이 reverse bias 되어 있으므로  [eqn: e^{ qV_BC over kT }] term 은 negligible 하다. )

또한 다른 표현으로는,

[eqn: I_n = -{q^2 A^2 D_n n_i^2 } over Q_B left ( e^{ qV_BC over kT } -1 right)]

(2.3.12)

이 식은 [eqn: I_n cong -I_s exp left(qV_BE over kT right)] = +[eqn: I_C] 로 나타낼 수 있으며 collector current는 emitter-base voltage에 기하급수적으로 비례함을 알 수 있으며 아래 그림에서와 같이 slope = [eqn: 60mV over {decade~ I }] 가 된다. 이 관계식은 보통 IC transistors에 있어서 광범위한 current 범위에서 매우 잘 들어맞는다.

NOTE : 전자가 각 terminal로 들어갈 때를 + 라 한다. 이는 전류의 차원에서 보면 각 terminal로부터 전류가 나갈 때를 positive라 하는 것이다. 따라서 + [eqn: I_C] 란 전류가 collector로부터 나오는 것이고 전자가 collect로 들어가는 것이다. collector current란 collector로부터 나오는 전류를 말하는 것으로  collector로 흘러 들어가는 전자에 의한 전류의 흐름을 말한다.

왼편 그림은 log [eqn: I_C] 와 [eqn: V_BE] 를 나타낸 것이다.

일반적으로 [eqn: Q_B] 는 base 영역에 대해 적분으로 구할 수 있으며 전형적으로 [eqn: Q_B] 값은 [eqn: approx 10^12 /cm^2] 의 수준으로 만들어 주어진  [eqn: V_BE] 에 의해 매우 높은 currrent 를 얻을 수 있게 한다.

slope 는 q/kT 에 해당하고 thermometer (under fixed emitter bias) 로 활용할 수 있다.

y 축 절편은 [eqn: I_s] 값을 나타낸다.

built-in base charge in the quasi-neutral region의 정의 :

[eqn: Q_BO = { q^2 A^2 n_i^2 barD_n} over { I_s}]   (2.3.13)

[eqn: Q_BO] : total hole charge in the quasi-nuetral base as the base-emitter bias tends to             zero.

Gummel Number : The number of base dopant atoms per [eqn: cm^2] in the quasi-neutral                         region

[eqn: INT _{ 0}^{x_B } N_a (x) dx = Q_BO over qA] [eqn: = {q`A`N_i^2 ~bar D_n} over I_s](2.3.14)

이식으로부터 [eqn: V_BE] 에 의한 electron current 의 소위 multiplication factor에 해당하는 [eqn: I_s] 는  total base doping에 반비례한다는 것을 알 수 있다. built-in base charge [eqn: Q_BO] 가 작을수록 주어진 bias에서 높은 전류가 흐르므로 base doping이 작을 수록 좋다. 그러나 base doping이 낮으면 작은 forward bias에서도 [eqn: n_p] (0) 가 [eqn: N_a] 에 접근되므로 base-emitter junction에서 low injection approximation을 적용할 수 없게 되며 transistor의 performance가 나빠지게 된다. 실제로는 [eqn: Q_BO] 를 낮추되 base emitter junction에서의 농도가 최대치가 되도록 taper 된 dopant profile을 형성한다.

Some basic configuration as MOSFET in  subthreshold ... but now lets apply forward bias to source and diode :

2-3-3 The LATERAL Bipolar DEVICE

set [eqn: kT over q] = thermal voltage [eqn: V_t]

A : [eqn: n_p_o e^{V_BE over V_t}]

if [eqn: V_BC] >0 , then B = [eqn: n_p_o e^{V_BC over V_t}]

if [eqn: V_BC] < 0, then C =  [eqn: n_p_o e^{V_BC over V_t}][eqn: approx 0]

base region 의 quasi-neutral region [eqn: Y_B << L_n]

Assume [eqn: Y_B << L_n]  and low level injection,  npn biploar transistor

the solution of n(x) is :

n(y) = [eqn: n_p_o e^{V_BE over V_t} left( {Y_B - y} over Y_B right )] + [eqn: n_p_o e^{V_BC over V_t} left( y over Y_B right)]

for simplicity, lets consider[eqn: V_BC] = 0 and compute various components of current in the device. Assume a "long-base" diode vertically and "short base" lateral diode solution.

total [eqn: I_E] = long base B-E  + short base E-C

vertical emitter area [eqn: A_EV] = [eqn: W_E cdot L_E]

lateral emitter area [eqn: A_EL] =[eqn: W_E cdot X_E]

using the respective long and short base solutions :

[eqn: I_E = - q A_EV ~{D_n~ n_p_o~ e^{V_BE over V_t}} over {L_n} - q A_EL ~{D_n~ n_p_o~ e^{V_BE over V_t}} over {Y_B}]

recombination term       transport term

= [eqn: I_B]                   = [eqn: I_C]

Thus, looking at the two terms we can see a key difference... the first term is recombination current ( going vertically into the bulk) while the second term is lateral injection current going from the emitter to the collector without recombining. The lateral component emerges from the collector as current

[eqn: I_C ~=~ {q``A_EL ``D_n~ n_p_o } over Y_B n_p_o`` e^{V_BE / V_t}]

given the assumed bias of [eqn: V_BC] = 0, the terminal currents are as follows, remember which terms come from what physical effect:

using notation such that positive is out of current as before.

[eqn: I_B = +I_EV , ~~~I_C = +I_EL]   and [eqn: I_E = (-) I_EV ~(-) I_EL]

Now lets define this condition as "forward" (or subscript "F" ) and also define "beta" ( or [eqn: beta_F] ) as :

[eqn: beta_F~ ==~ I_C over I_B RIGHT |_ {V_BC <= 0} = ~left( I_EL over I_EV right) ~=~ {A_EL /Y_B}over {A_EV / L_n} ~= ~L_n over Y_B cdot A_EL over A_EV~ =~ L_n over Y_B cdot X_E over L_E]

typically [eqn: L_n >> Y_B] and [eqn: X_E cong L_E]  [eqn: therefore] [eqn: beta_F] is very much greater than 1.

Now repeating the process with the collector junction, this time assume that [eqn: V_BE] = 0 and [eqn: V_BC] >0

[eqn: A_CL = X_C W_C]

[eqn: A_CV = W_C L_C]

Again assuming that the lateral current is collected by a short-base boundary condition, whereas the vertical is still long base

[eqn: I_C = - q A_CV ~{D_n~ n_p_o~ e^{V_BC over V_t}} over {L_n} - q A_CL ~{D_n~ n_p_o~ e^{V_BC over V_t}} over {Y_B}]

recombination term    transport term

= [eqn: I_B] [eqn: (I_CV )]             = [eqn: I_E] ( [eqn: I_CL] )

A practical constraint of short-base transport is that the "area" is the minimum of [eqn: A_EL] or [eqn: A_CL] . As we did for "forward" case, lets look at the [eqn: I_E] and [eqn: I_B] . Now for the "reverse" ( or subscript "R" ) case where [eqn: V_BC >0] and [eqn: V_BE <= 0]

[eqn: I_E = {q A_E D_n} over Y_B n_p_o ~e^{V_BC~ / V_t}]  , [eqn: I_B = {qA_CV D_n }over L_n n_p_o e^ {V_BR / V_t}]

[eqn: beta_R~ ==~ I_E over I_B RIGHT |_ {V_BE <= 0} = ~left( I_CL over I_CV right) ~=~ {A_E }over {A_CV } L_n over Y_B]

recall [eqn: beta_F = A_E over A_EV L_n over Y_B]

So unless [eqn: A_CV] or [eqn: A_EV] is vastly different, the beta's "F" and "R" for this lateral transistor will be about equal. We can define a simple model for the device as follows.

2-3-4 The Vertical Bipolar Device

This "idealized" vertical structure has a single area factor [eqn: A_E] and all junctions will inject across it. In contrast to the lateral device where we ignored reverse injection into the n-regions of emitter and collector, we will now treat each junction as a one-dimensional "diode-like" device and consider                                        both holes and electrons.

Hence, drawing the 1D vertical slice and carrier concentrations :

Assuming [eqn: V_BC] = 0 and [eqn: V_BE] > 0 also  [eqn: X_B << L_n] ,  and [eqn: X_E << L_p], the injected carrier profiles are sketched above. For suitable reference directions, the minority distributions are :

[eqn: p_n (x') = p_n ~e^{V_BE over V_t} left( {X_E - X'}over X_E right )]

[eqn: n_p (x'') = n_p ~e^{V_BE over V_t} left( {X_B - X''}over X_B right )]

따라서 current는,

[eqn: I_pE ~= ~- {q ``D_p ``A_E `~`p_n``e^{V_BE over V_t}````}over X_E}]   holes from base to emitter=[eqn: I_B]

[eqn: I_nC ~= ~ {q ``D_n ``A_E `~`n_p``e^{V_BE over V_t}````}over X_B}]    electrons from emitter to collector = [eqn: I_C]

Now a very key observation is as follows... These currents both cross the BE junction,

[eqn: I_nC] is electrons coming from E to C

[eqn: I_pE] is holes coming from B to E

The appropriate terminal flow pattern is as given in Fig 5.5 and repeated below :

This is exactly consistent with model format given before for lateral device... however now [eqn: Q_B] comes from reverse hole injection at emitter and not parasitic electron recombination.

By analogy, the reverse condition gives [eqn: V_BC] > 0 and [eqn: V_BE] = 0 ...

again assume [eqn: L_p] << [eqn: X_C]

[eqn: n_p (x'') = p_n ~e^{V_BC over V_t} left( { X''}over X_B right )]

[eqn: p_n (x''') = p_n ~e^{V_BC over V_t} cdot e^{- X'''/L_p}]

따라서 current 는,

[eqn: I_nE ~= ~ {q ``D_n ``A_E `~`n_p``e^{V_BC over V_t}````}over X_B} = I_E]

[eqn: I_pC ~= ~ {q ``D_p ``A_E `~`p_n``e^{V_BC over V_t}````}over L_p} = I_B]

By analogy to Forward case,

Again following notation definitions from the lateral device :

[eqn: beta_F ~==~ I_C over I_B RIGHT | _{V_BC =0} =~ I_nC over I_pE ~= ~{D_n ``n_p ``/X_B}over {D_p`` p_n`` /X_E}]

( other terms and [eqn: A_E] cancels)

Assuming constant dopings with [eqn: n^+ = N_dE] (emitter) and p = [eqn: N_aB] (base) due to quasi neutrality,

[eqn: p_n = n_i^2 over N_dE], [eqn: n_p = n_i^2 over N_aB]  (minority carriers in the base )

then,

[eqn: beta_F~ =~ {X_E~ `N_dE~ / D_p}over {X_B~ N_aB ~/ D_n}]

which means in the base, [eqn: X_B downarrow , ~~N_dE uparrow , ~~N_aB downarrow] and [eqn: D_n uparrow] (long lifetime before recombination) has to  be assured to obtain high current gain.

As you will see in problems set, [eqn: X_E ``N_dE ~ PROPTO~ Q_Eo] the integral emitter doping and [eqn: X_B`` N_aB ~propto~ Q_Bo] , the integral base doping. Hence, to first-order in this structure, if [eqn: Q_Eo ~>>~Q_Bo] one obtains large [eqn: beta_F] (that's good).

Turning to the reverse characteristics,...

[eqn: beta_R ~=~ I_E over I_B RIGHT | _{V_BE = 0}= ~ {D_n ``n_p ``/ X_B}over {d_p ``p_n ``/ L_p} ~cong~ {L_p ``N_dC`` / D_p}over {X_B`` N_aB ``/ D_n}] (all other terms and [eqn: A_E] cancel)

By contrast to [eqn: beta_F] , [eqn: N_dC] is not much greater than [eqn: N_aB] and thus [eqn: beta_R] is not necessarily greater than unity.

2-3-5 Generalized Base Transport

If you look for both lateral and vertical devices there is a reciprocal relationship of electron current.  Namely, assume a given bias voltage [eqn: V_B] ,

[eqn: I_C ~ RIGHT | _{V_BE = V_B , V_BC = 0}~ ~==~~I_E ~RIGHT |_{V_BE = 0 , V_BC = V_B}]

forward              reverse

You might suspect with lateral device that this should be so since both E and C are same [eqn: n^+] regions.

For vertical device its a bit more surprising since [eqn: N_dE] >> [eqn: N_dC] . But then you realize that the boundary condition comes from the base doping. Now... what happens with non-uniformly doped base?

The derivation in M&K p 202 - 203 is the key one. To summarize steps. :

1. use [eqn: J_p] = 0 in the base ( with non-uniform doping) to get

E(x) = [eqn: kT over q 1 over p {d p} over dx]

2. in solving for [eqn: J_n] across the BASE ( given injected electrons subject to E(x) )      [eqn: J_n = {qD_n}over p {d`(pn)} over dx]

3. Since [eqn: J_n] is constant across the BASE (neglecting recombination) do integrals as for MOS

[eqn: J_n INT _{ base} {p``dx} over {q``D_n} = INT _{ base} d``(pn)]

Now... [eqn: int d(pn) = (pn) RIGHT |_BE ^BC]  and this we know from low level injection    assumption,

[eqn: (pn) over {}~RIGHT|_BE ^BC = n_i`^2 ~e ^{V_BC over V_t} - n_i`^2 ~e ^{V_BE over V_t}]

Thus,

[eqn: I_n = {A_E ``n_i^2}over { INT _{ base} {p ``dx}over {q`` D_n}}left[ e^{V_BC over V_t} - e^{V_BE over V_t}right]]

Note

a. reciprocity still results.. as long as low level injection applies the pn product at each boundary sets conditions

b. integral of doping ( ala [eqn: Q_Bo] )  is replaced by [eqn: int {pdx}over D_n]

one can quickly note that for constant doping

[eqn: n_i`^2} over {int {pdx}over D_n } = 1 over {X_B N_aB /D_n}]

conclusion : reciprocity and a rather simple formula for base transport current follows, even for non-uniform base doping, when pn product is used as boundary conditions.

2-4 Charge Storage and Charge Control Model

2-4-1 Space Charge and Junction Capacitance

[eqn: dQ over dV = C_j (V) = C_{j phi }``` left ( 1 - V over { psi }_i right)^-m]

for step junction,

[eqn: C_{j phi } = left[ {q` epsilon_Si ``N_D`` N_A}over {2 psi_i ``( N_D + N_A )}right]^+m] 에서 m = 0.5 [eqn: psi_i ~= V_T`` ln {N_D`` N_A}over {n_i}^2]

To find charge added to each "plate" of junction for a given voltage change :

[eqn: dQ over dV = C`(V`) ,~~~ `dQ = C`(V`) dV]

then,

[eqn: Q = INT _{ V = V1}^{ V = V2} C_{j phi}``` left( 1 - V over psi_i right) ^-m ` dV]

[eqn: Q = C_{j phi}``(-psi_i )` left( 1 over 1-m right) left[ left( 1 - V over psi_i right) ^(1-m) ``right] _{V1} ^{V2}]We must speak in terms of changes since the final application is transient device and circuit calculations. Thus, define [eqn: q_VE] and [eqn: q_VC] as the charge added to the BE and BC space charge regions, respectively, to go from zero bias to positive junctions bias. It will be observed that [eqn: q_VE] and [eqn: q_VC] can be either positive or negative

[eqn: q_VE = INT _{ 0}^{V_BE }left[ C_JE over {left(1 - V over {phi_i}^BE right)^m_BE} right] dV]

[eqn: q_VC = INT _{ 0}^{V_BC }left[ C_JC over {left(1 - V over {phi_i}^BC right)^m_BC} right] dV]

The [ ] bracketed terms are the bias dependent junction capacitances. [eqn: phi]'s are the built-in voltages and m's are between 0.3 and 0.5 (i.e., 0.5 means an abrupt doping pn) The equations simply say  [eqn: int d``Q_SC ~= int C``(V`) dV]

Sample calculation of stored space charge and junction  capacitance

[eqn: 10 times 10 mu^2] , [eqn: N_D = 10^17] [eqn: N_A = 10^19]

[eqn: V_D] volts	C(V) fF	[eqn: qV_D ~~Left( int_{0}^{V_D}C(V) dV ``right)] fC

-0.7	71	-56

-0.3	82	-26

0	95	0

0.2	106	20

0.4	120	43

0.6	158	71

2-4-2 Injected Minority Charge and Diffusion Capacitance

Stored minority carrier charge

[eqn: Q_n = q A n_po ( e^V/V_T - 1 ) L_n]

[eqn: Q_p = q A p_no ( e^V/V_T - 1 ) L_p]

again, [eqn: p^+]n -> [eqn: P_no >> n_po]  so [eqn: Q approx Q_p]

Find Characteristic time [eqn: tau] such that [eqn: I = Q over tau]

[eqn: tau ~== Q over I = {q`A`L_p`` p_no ``( e^V/V_T - 1)}over{q`A`D_p`` p_no`` ( e^V/V_T - 1 )} = {L_p}^2 over D_p ={tau_p ``D_p } over D_p`` =tau_p]

Space Charge VS Injected Minority Charge

Taking [eqn: q_VE] and [eqn: q_F] as a representative pair of charges, depending on [eqn: qV_BE] :

Clearly, [eqn: q_VE] is a slowly varying function of [eqn: V_BE]  .. .. both positive and negative.

For small [eqn: V_BE]>0, [eqn: q_VE] > [eqn: q_F]

on the other hand, [eqn: q_F] varies exponentially with [eqn: V_BE]. Hence, for reasonably large [eqn: V_BE] >0   [eqn: q_F >> q_VE]

2-4-3 Charge Control Model

Objective : Derive a set of equations for terminal currents as                                           function of Q and [eqn: dQ over dt]

Method : 1. Define [eqn: Q_BF , Q_E , Q_BR , Q_C ,]  as total excess charge in respective regions in forward mode ( [eqn: Q_BF , Q_E] ) and reverse mode ( [eqn: Q_B , Q_C] )

2. Approximate these charges with two base charges [eqn: q_F] ( forward mode) and [eqn: q_R] ( reverse mode)

3. Express terminal currents as function of these two charges and space region charge

To understand how charges affect transient circuit behavior, we must write terminal current equations for the bipolar device to reflect time-dependent effects.

Emitter charge = [eqn: Q_E]

Base charge = [eqn: Q_B]

Collector charge = [eqn: Q_C]

"Forward" [eqn: Q_E] and [eqn: Q_B] only

"Reverse" [eqn: Q_C] and [eqn: Q_B] only

By analogy to diode and assuming [eqn: V_BC] = 0

[eqn: Q_E = q`` A_E`` p_n ``e^{V_BE over V_t}cdot X_E over 2]

[eqn: Q_BF = q`` A_E`` n_p ``e^{V_BE over V_t}cdot X_B over 2]

recalling the current equations and writing in terms of [eqn: Q_B] and [eqn: Q_E]

[eqn: I_C = {q`` A ``D_n ``n_p}over X_B e^{V_BE over V_t} = Q_BF` / X_B`^2}/2D_n]

[eqn: I_BF = {q`` A ``D_p ``p_n}over X_E e^{V_BE over V_t} = Q_E` / X_E`^2}/2D_p]

We can thus define [eqn: tau_B ``== {X_B`^2} over 2D_n]  and [eqn: tau_E ``== {X_E`^2} over 2D_p]

Clearly [eqn: Q_E ~propto~ Q_BF~ propto~ e^{V_BE overV_t}]

Typically [eqn: Q_E << Q_BF]  since [eqn: N^+ >> p]

Thus, it is often convenient to lump [eqn: Q_E] and [eqn: Q_BF] into a single forward charge [eqn: q_F approx Q_BF] and

[eqn: I_C = q_F / Tau_F] where [eqn: Tau_F approx {X_B`^2} over 2D_n]

Now, to consider [eqn: I_B] we still want to use [eqn: q_F] ... somewhat of a problem. Therefore we define a [eqn: tau_BF] that both corrects [eqn: q_F] ( so it has proper relationship to [eqn: q_E] ) and also contains [eqn: tau_E] . That is, we can think of [eqn: tau_BF] as being [eqn: tau_BF = q_F over q_E cdot tau_E]

The overall dependence simply gives

[eqn: I_BF = q_F over Tau_BF]

This is the forward "Charge-Control Relationship" for the device.

Obviously,

[eqn: beta_F = I_C over I_BF = tau_F over tau_F]

[eqn: therefore ~~tau_BF = beta_F tau_F]

stated in words, [eqn: q_F~ approx~ Q_BF] and [eqn: tau_F {X_B}^2 / 2D_n]

Finally, [eqn: tau_BF ~= ~beta_F tau_F] and properly preserves the dc characteristics.

Similarly for the reverse characteristics where [eqn: V_BE = 0] and [eqn: V_BC > 0]

[eqn: Q_C = qA_E`` p_n`` E^{V_BC over V_t} L_p] , [eqn: Q_BR = qA_E`` n_p`` E^{V_BC over V_t} X_B /2]

[eqn: I_E = Q_BR over tau_B] , [eqn: I_BR = Q_C over tau_C] where [eqn: tau_C = L_p^2 over D_p]

Again, for simplicity ( a single variable relationship)

[eqn: I_E approx q_R over tau_R]  and [eqn: I_B approx q_R over tau_BR] so that [eqn: beta_R = Tau_BR OVER tau_R]

For the reverse case one will quickly note that [eqn: q_R != q_BR]...

More likely, one can assume [eqn: q_R approx q_C] and that [eqn: Tau_BR approx {L_p}^2 over D_p]

(These make the most physical sense.) Nonetheless because the base region is taken as the reference, we can symbolically show the respective [eqn: q_F] and [eqn: q_R]' as follows

만약 [eqn: V_BE > 0] 그리고 [eqn: V_BC > 0] 과 같이 양쪽 모두가 forward bias 되는 경우는 [eqn: q_F] 와 [eqn: q_R] 모두가 존재하게되고 이럴 경우 앞서와 비슷한 방법으로 쉽게 [eqn: q_S] (the saturated base charge) 라는 하나의 variable로 base charge를 다룰 수 있게 됨이 뒤에 설명될 것이다

Complete DC Charge-Control Model and Equations

For the time-dependent case the model now adds [eqn: dq_V over dt]  and [eqn: dq over dt] terms

Rarely do we solve these equations as written. However, they do serve two very useful functions.

1. They pin-point exactly how components enter the small signal model. For example, for forward active small signal :

2. For special cases, for example before turn-on and during saturation we can solve a simplified set of these equations.

3. When faced with complete set we let the spice circuit simulator do the work numerically.

Summary of charge control model

2-5 Saturation

The condition of saturated operation of a bipolar device has been the most successful application of the charge control model. Saturation for the bipolar device means that [eqn: V_BE > 0] and [eqn: V_BC >0] thus [eqn: q_F >0] and [eqn: q_R > 0]

From the circuit point of view, when a BJT saturates [eqn: I_C] becomes

limited [eqn: {I_C}^max]and [eqn: I_B] increases so that [eqn: I_B`` >` I_C over beta_F] . We will define Edge-of-Satration (EOS) as [eqn: {I_B}^EOS = I_C over beta_F]

From the device point of view, and more specifically the charge control view point, the charge looks as follows :

Total q ( = [eqn: q_F + q_R] ) increases beyond EOS but! slope stays the same since [eqn: I_C] is fixed. The above observation suggests that in saturation one can look at shaded charge specifically beyond the [eqn: q_F] (EOS) " baseline" amount.

M&K p271-275 give the outline of deriving a simplified saturation charge-control model namely, we only deal with the shaded region. To do this we must remove terms involving EOS charge and current.

For example, we define [eqn: i_BS] as follows

[eqn: i_BS = i_B](total) - [eqn: i_C over beta_F]

(i.e., we subtracted out the EOS component of [eqn: i_B] )

We define [eqn: q_S] as the "saturated charge"

[eqn: q_S = Q_F (tot) + q_R (tot) - i_C ``tau_F]    여기서[eqn: i_C ``tau_F] 는[eqn: q_F] (EOS) 이다.

(i.e., M&K 6.4.17 )

Now to a good first-order approximation ( i.e., the dominant pole of the two pole system ---M&K 6q.4.13q & 6.4.14 )

[eqn: i_BS = q_S over tau_S + {d q_S} over dt]

where [eqn: tau_S] is related to the "slow" time constant (M&K 6.4.15)

[eqn: tau_S ``= ``{1/tau_F + 1/tau_R + 1/tau_BR} over {1/tau_F tau_BR + 1/tau_R tau_BF + 1/tau_BR tau_BF}]

That is, it contains effects of both [eqn: q_F] and [eqn: q_R]

Using [eqn: beta_F tau_BF / tau_F] and [eqn: beta_R = tau_BR / tau_R]

[eqn: tau_S = {beta_F ( beta_R +1) tau_F + beta_F beta_R tau_R} over{1 + beta_F beta_R}]

Using typical numbers, [eqn: beta_F = 50 ~~beta_R = 3 ~~tau_F = 0.1 ns ~~~tau_R = 1 ns]  then [eqn: tau_s = {(50) (4) (0.1ns) + (50) (3) (1ns)}over {50+3+1} approx 3ns]

For the device point of view, beyond EOS the stored excess saturation charge (steady state) is

[eqn: q_S = i_BS``` tau_S]

To bring a saturated device out of saturation, this charge must be removed. During this "saturation delay" [eqn: v_CE] is fixed as is [eqn: i_C] while some negative base derive works to remove [eqn: q_S]